Sprawdź czy proste są w jednej płaszczyźnie

[konrad180]

Mam mały problem z rozwiązaniem takiego o to zadania ane są proste l1 i l2.Sprawdź czy te proste leżą w jednej płaszczyźnie jeśli tak to napisz równanie parametryczne i ogólne tej pł. l1:\(\displaystyle{ \frac{x-1}{1}}\) = \(\displaystyle{ \frac{y+2}{2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{z-1}{2}}\) i l2 \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y-5=0\\3x-z-4=0\end{cases}}\) Bardzo prosze o pomoc .;/ Liczyłem iloczyn mieszany ale nie wyszedł mi 0 .. a z tego co wiem to są w jednej płaszczyźnie ;/ Z góry dzięki za pomoc

[karakuku]

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x- \frac{1}{2}y=2 \\ x- \frac{1}{2}z= \frac{1}{2} \end{cases}}\)

Czyli \(\displaystyle{ l_1=lin((1,2,2))+(0,-4,-1)}\) i weźmy jakiś wektor \(\displaystyle{ v}\) łączący dowolne dwa punkty \(\displaystyle{ l_1}\) i \(\displaystyle{ l_2}\).
Np. \(\displaystyle{ (0,-4,-1)}\) i \(\displaystyle{ (0,5,-4)}\) wtedy \(\displaystyle{ v=(0,9,-3)}\).

Dodajmy wektor \(\displaystyle{ v}\) do bazy \(\displaystyle{ l_1}\) i otrzymamy płaszczyznę \(\displaystyle{ K}\) (jeśli \(\displaystyle{ v \notin T(l_1)}\)), która powinna być płaszczyzną do której należą obydwie proste.

\(\displaystyle{ K=lin((0,9,-3),(1,2,2))+(0,-4,-1)=lin((0,3,-1),(1,2,2))+(0,-4,-1)}\)

\(\displaystyle{ lin((0,3,-1),(1,2,2))= \begin{cases} -8x+y+3z=0 \end{cases}}\)

Czyli \(\displaystyle{ K: -8x+y+3z=-7}\), równanie parametryczne: \(\displaystyle{ (t,3s+2t-4,-s+2t-1)}\)

Sprawdźmy czy \(\displaystyle{ l_2}\) spełnia to równanie:
\(\displaystyle{ l_2: \begin{cases} x=5-y \\ z=3x-4=-3y+11\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -8(5-y)+y+3(-3y+11)=-7 \Leftrightarrow -40+8y+y-9y+33+7=0 \Leftrightarrow 0=0}\)

Czyli \(\displaystyle{ K}\) zawiera obydwie proste.

[konrad180]

a można to zadanie jakimś innym sposobem rozwiązać ? bo tego nie rozumiem :/

[a4karo]

Napisz równanie parametryczne pierwszej prostej i wstaw do obu równań drugiej. Jak będziesz miał szczęście, to dostaniesz ich punkt przecięcia. Jak nie będziesz miał szczęścia, to pozostanie sprawdzić, czy te proste nie są przypadkiem równoległe (wyznaczając ich wektory kierunkowe)

[konrad180]

Jeśli podstawie to wychodzi totalna głupota a równoległe również nie są ;/

[a4karo]

A możesz pokazać jakaż to głupota Ci wychodzi?

Bo według mnie te proste przecinają sie w punkcie \(\displaystyle{ (3,2,5)}\)

[konrad180]

Z L1 w postaci parametrycznej \(\displaystyle{ x=t+1 y=2t-2}\) a \(\displaystyle{ z=2t+1}\) a gdy podstawiam pod \(\displaystyle{ x+y-5=0}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ 3t=8}\) a gdy podstwie pod \(\displaystyle{ 3x-z-4}\) to wychodzi mi \(\displaystyle{ t=-3}\)

[a4karo]

Nie wiem jak się liczy w stolicy, ale u nas na prowincji mamy tak:

\(\displaystyle{ (t+1)+(2t-2)-5=0 \Rightarrow 3t-6=0}\)
\(\displaystyle{ 3(1+t)-(2t+1)-4=0 \Rightarrow t-2=0}\)

[konrad180]

Faktycznie .. błąd :/ Czyli teraz skoro mam już ten punkt moge stworzyć 2 wektor , następnie z tych 2 wektorów (jeden z L1 drugi z punktu z L1 i punktu przecięcia ) moge otrzymać wektor prostopadły i stworzyć płaszczyzne? Dobrze wszystko rozumiem ? Wielkie dzięki za pomoc