Równanie ogólne prostej

[crash126]

Wyznacz równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkt P(−1,2) i odległej od początku układu 4√5/5. Proszę o pomoc. Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać

[kerajs]

Prosta przechodząca przez punkt P ma równanie:
\(\displaystyle{ y-2=a(x-(-1))\\
y=ax+a+2 \\
y-ax-a-2}\)

I wersja;
Wzór na odległóść punktu od prostej:
\(\displaystyle{ d= \frac{ \left|Ax_0+By_0+C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2} }}\)
tu:
\(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{5} }{5}= \frac{\left| 0-a \cdot 0-a-2\right| }{ \sqrt{(-a)^2}+1^2 }}\)
\(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{5} }{5} \sqrt{a^2+1}= \left| -a-2\right| \\
\frac{16 \cdot 5}{25}(a^2+1)=a^2+4a+4 \\
.....}\)

II wersja
Okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=( \frac{4 \sqrt{5} }{5})^2}\) musi być styczny do prostej \(\displaystyle{ y=ax+a+2}\)

\(\displaystyle{ x^2+(ax+a+2)^2= \frac{16}{5}}\)
Aby tak było to:
\(\displaystyle{ \Delta=0\\
....}\)

[janusz47]

Lub korzystamy z równania normalnego prostej:

\(\displaystyle{ x\cos(\alpha) + y\sin(\alpha) + p = 0.}\)

\(\displaystyle{ \cos(\alpha) = \frac{-1}{\sqrt{1^2+2^2}}= \frac{-1}{\sqrt{5}},}\)

\(\displaystyle{ \sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}},}\)

\(\displaystyle{ p = 4\frac{\sqrt{5}}{5}.}\)