Równanie prostej prostopadłej do dwóch wektorów w 3R

[Nax]

Pełna treść brzmi:
Przedstaw równania prostej w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) (odnotowując ich związek z odpowiednimi wektorami) oraz wyznacz kąt, pod jakim prosta prostopadła do wektorów:
\(\displaystyle{ u=\left[ 4,-3,2\right] ^{T}}\)
\(\displaystyle{ v=\left[ -5,4,3\right] ^{T}}\)
jest nachylona do płaszczyzny \(\displaystyle{ z=0}\)

Rozumiem tylko tyle:
- Wektory są transponowane, czyli ma to jakiś związek z macierzami. Nie wpływa to na wynik;
- Prawdopodobnie muszę wyznaczyć proste z wektorów a potem prostą prostopadłą korzystając ze wzoru którego nie mogę znaleźć;
- Znając równanie prostej, użyć wzoru zawierający kąt między tą prostą a płaszczyzną XY.

Przeszukałem internet i znalazłem tylko ten temat z forum, mówiący że wektor transponowany nie ma wpływu na wyniki i jest tylko używany by było wygodniej obliczać macierze. Znalazłem także parę wzorów ale niezbyt je rozumiem... czy też raczej nie wiem jak je zastosować w zadaniu.

Z góry dzięki za pomoc.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \vec{k}= \vec{u} \times \vec{v}=\left[ -17,-22,1\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{k}\circ \vec{n}= \left| \vec{k}\right| \left| \vec{n} \right|\cos\left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right)}\)

\(\displaystyle{ \left[ -17,-22,1\right] \circ \left[ 0,0,1\right]= \sqrt{(-17)^2+(-22)^2+1^2} \sqrt{1^2} \sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ 1= \sqrt{774}\sin \alpha \\
\alpha =...}\)

[Nax]

Jeżeli dobrze rozumiem to najpierw obliczamy iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{u} \times \vec{v}}\) który jest prostopadły do obu tych wektorów.

Następnie, korzystając z wzoru na iloczyn skalarny wektorów, wyznaczamy \(\displaystyle{ \alpha}\).
Po podstawieniu należy zamienić cosinus na sinus aby obliczyć żądany kąt a potem przemnożyć długość wektora przez jego długość wzdłuż osi Z.

I wychodzi:
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{774} }}\)

\(\displaystyle{ arcsin\left( \frac{1}{ \sqrt{774} } \right)= \alpha}\)

\(\displaystyle{ \alpha =2,06}\) w stopniach

Tak ma wyjść czy się gdzieś kopnąłem?

[kerajs]

Jeżeli dobrze rozumiem to najpierw obliczamy iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{u} \times \vec{v}}\) który jest prostopadły do obu tych wektorów.

Tak. Wektor kierunkowy prostej jest prostopadły do podanych wektorów więc można go policzyć z ich iloczynu wektorowego.

Następnie, korzystając z wzoru na iloczyn skalarny wektorów, wyznaczamy \(\displaystyle{ \alpha}\).
Po podstawieniu należy zamienić cosinus na sinus aby obliczyć żądany kąt a potem przemnożyć długość wektora przez jego długość wzdłuż osi Z.
I wychodzi:
\(\displaystyle{ \alpha =2,06}\) w stopniach

Tak, tyle wychodzi.
Prosta przebija płaszczyznę pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), i jest to kąt między wektorem kierunkowym prostej, a jego rzutem prostopadłym na zadaną płaszczyznę. Dużo łatwiej jest jednak policzyć kąt miedzy wektorem kierunkowym prostej a wektorem normalnym płaszczyzny który jest prostopadły do rzutu kierunkowego. Stąd kąt \(\displaystyle{ 90^{\circ}- \alpha}\).