Rzut prostopadły punktu na prostą.

[Avantu]

Witam! Mam do rozwiązania zadanie znaleźć rzut prostopadły punktu \(\displaystyle{ P = \left( 1, -2, 0\right)}\) na prostą \(\displaystyle{ l : x = 1 - t, y = 2t, z = 3t}\). Nie wiem czy dobrze ale t wyszło mi \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\). Mógłby ktoś rozwiązać to zadanie krok po kroku? Z góry dzięki!

[kerajs]

1)
Płaszczyzna prostopadła do prostej i zawierająca punkt P to:
\(\displaystyle{ -1(x-1)+2(y-(-2))+3(z-0)=0}\)
Szukany rzut to punkt przebicia tej płaszczyzny przez zadaną prostą. Wystarczy rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -1(x-1)+2(y-(-2))+3(z-0)=0 \\ x=1-t \\ y=2t \\ z=3t \end{cases}}\)
...

2)
Z iloczynu skalarnego:
\(\displaystyle{ \vec{PP'}\circ \vec{k}=0\\
\left[ 1-(1-t),-2-2t,0-3t\right] \circ\left[ -1,2,3\right]=0\\
t \cdot (-1)+(-2-2t) \cdot 2+(-3t) \cdot 3=0\\
t=...\\
P'=(...,...,...)}\)