Zbiór punktów równo oddalonych od punktów

[Janpostal]

Cześć,
mam takie zadanie:

Znajdź zbiór punktów równo oddalonych od punktów \(\displaystyle{ A(1,2,3), B(1,1,1), C(2,1,3)}\)

Moja teoria jest taka, z tych trzech punktów powstanie nam trójkąt, znajdziemy miejsce gdzie przecinają się środkowe tego trójkąta i z tego punktu poprowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny określonej przez te trzy punkty. Ta prosta będzie właśnie zbiorem tych punktów równo oddalonych od tych trzech punktów. Ale jest tu trochę liczenia, zastanawiam się nad szybszą metodą i generalnie nad poprawnością mojego toku myślenia. Z góry dzięki za wszelkie uwagi.

[Premislav]

Twoja idea jest OK.

Mój pomysł jest najbardziej bezmyślny, jak tylko się da:

odległość punktu \(\displaystyle{ (x,y,z) \in \RR^3}\) od \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) to jest
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}}\) i tak dalej. Więc można, choć nie trzeba, utworzyć taki uroczy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}= \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2} \\ \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}= \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2} \end{cases}}\)

Podnosimy te obrzydliwości stronami do kwadratu, redukujemy co się da i zostajemy z:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2y+4z=11 \\ 2x-2y=0 \end{cases}}\)
(o ile się nie machnąłem w rachunkach),
a stąd już momentalnie można wyliczyć równanie prostej w \(\displaystyle{ \RR^3}\), która będzie spełniała żądany warunek. Ale to rozwiązanie to pałownia.

[Janpostal]

Zawsze jest to szybsze rozwiązanie niż moje, także na plus wychodzi

[kinia7]

Moja teoria jest taka, z tych trzech punktów powstanie nam trójkąt, znajdziemy miejsce gdzie przecinają się środkowe tego trójkąta ...

Twoja idea jest OK.

Niestety nie jest OK.
Tak znajdzie środek ciężkości trójkąta. Punkt równo oddalony od wierzchołków trójkąta to środek okręgu opisanego na nim, czyli punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta.

[Premislav]

Ups. Dzięki za wychwycenie tego.