Cześć,
mam takie zadanie:
Znajdź zbiór punktów równo oddalonych od punktów \(\displaystyle{ A(1,2,3), B(1,1,1), C(2,1,3)}\)
Moja teoria jest taka, z tych trzech punktów powstanie nam trójkąt, znajdziemy miejsce gdzie przecinają się środkowe tego trójkąta i z tego punktu poprowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny określonej przez te trzy punkty. Ta prosta będzie właśnie zbiorem tych punktów równo oddalonych od tych trzech punktów. Ale jest tu trochę liczenia, zastanawiam się nad szybszą metodą i generalnie nad poprawnością mojego toku myślenia. Z góry dzięki za wszelkie uwagi.
Zbiór punktów równo oddalonych od punktów
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zbiór punktów równo oddalonych od punktów
Twoja idea jest OK.
Mój pomysł jest najbardziej bezmyślny, jak tylko się da:
odległość punktu \(\displaystyle{ (x,y,z) \in \RR^3}\) od \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) to jest
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}}\) i tak dalej. Więc można, choć nie trzeba, utworzyć taki uroczy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}= \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2} \\ \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}= \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2} \end{cases}}\)
Podnosimy te obrzydliwości stronami do kwadratu, redukujemy co się da i zostajemy z:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2y+4z=11 \\ 2x-2y=0 \end{cases}}\)
(o ile się nie machnąłem w rachunkach),
a stąd już momentalnie można wyliczyć równanie prostej w \(\displaystyle{ \RR^3}\), która będzie spełniała żądany warunek. Ale to rozwiązanie to pałownia.
Mój pomysł jest najbardziej bezmyślny, jak tylko się da:
odległość punktu \(\displaystyle{ (x,y,z) \in \RR^3}\) od \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) to jest
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}}\) i tak dalej. Więc można, choć nie trzeba, utworzyć taki uroczy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}= \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2} \\ \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}= \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2} \end{cases}}\)
Podnosimy te obrzydliwości stronami do kwadratu, redukujemy co się da i zostajemy z:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2y+4z=11 \\ 2x-2y=0 \end{cases}}\)
(o ile się nie machnąłem w rachunkach),
a stąd już momentalnie można wyliczyć równanie prostej w \(\displaystyle{ \RR^3}\), która będzie spełniała żądany warunek. Ale to rozwiązanie to pałownia.
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Zbiór punktów równo oddalonych od punktów
Janpostal pisze:Moja teoria jest taka, z tych trzech punktów powstanie nam trójkąt, znajdziemy miejsce gdzie przecinają się środkowe tego trójkąta ...
Niestety nie jest OK.Premislav pisze:Twoja idea jest OK.
Tak znajdzie środek ciężkości trójkąta. Punkt równo oddalony od wierzchołków trójkąta to środek okręgu opisanego na nim, czyli punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta.