Czy proste l1 i l2 się przecinaja?

[szuchasek]

\(\displaystyle{ l _{1}: \frac{x-1}{2}= \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}}\)

\(\displaystyle{ \vec{a}= [2,-1,3]}\)

\(\displaystyle{ P _{1}= (1,-2,0)}\)


\(\displaystyle{ l _{2}: \frac{y+1}{1}= \frac{y+11}{2} = \frac{z+1}{1}}\)

\(\displaystyle{ \vec{b}= [1,2,1]}\)

\(\displaystyle{ P _{1}= (-1,-11,-1)}\)

\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix}
x _{1}-x _{2} & y _{1}-y _{2} & z_{1}-z_{2} \\[0.3em]
a _{1} & b _{1} & c _{1} \\[0.3em]
a _{2} & b _{2} & c _{2}
\end{bmatrix}}\)

Może mi ktoś wyjaśnić skąd się bierze ten pierwszy wiersz? Albo podać jakiegoś linka z wzorami gdzie to jest podane?

[Kacperdev]

a ja bym proponował wyjsc od postaci parametrycznej. To znacznie bardziej intuicyjne.

[szuchasek]

To znaczy?

\(\displaystyle{ l _{1}: \begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t-2\\ z=3t \end{cases}}\), \(\displaystyle{ t \in R}\)

\(\displaystyle{ l _{2}: \begin{cases} x=t-1 \\ y=2t -11\\ z=t-1 \end{cases}}\), \(\displaystyle{ t \in R}\)

P.S. I tak wolałbym bardziej poznać tamten sposób i skąd to się wszystko bierze.

[Kacperdev]

No ale zobacz, że problem zamienił się w układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2t+s=0\\ -t+2s=13\\3t+s=1 \end{cases}}\)

wystarczy zobaczyć czy układ ten ma rozwiązanie

[szuchasek]

Czyli w \(\displaystyle{ l_{2}}\) zamieniam każde \(\displaystyle{ t}\) na \(\displaystyle{ s}\) i wtedy dodaje wszystko do siebie?

[Kacperdev]

Tak, jest zamiana.

Potem nie dodajesz tylko porównujesz po współrzednych, bo w koncu pytamy czy te proste mają wspólne punkty.

[szuchasek]

No to wyszlo mi, że \(\displaystyle{ t=1}\) , a \(\displaystyle{ s=-2}\).

Wstawić mam do pierwszej "klamry" \(\displaystyle{ t}\), a do drugiej \(\displaystyle{ s}\)?

[Kacperdev]

Dla takiego \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ s}\) drugie równanie nie jest spełnione. Stąd wynika, że jest sprzeczny. (tzn. wynika to tak naprawdę z tw. Kroneckera-Capelliego)

Czyli proste nie przecinają się a do tego nie są równoległe, zatem są skośne.

[szuchasek]

No własnie, a w odpowiedziach jest że się przecinaja...
Bo wlasnie liczony jest wyznacznik tej macierzy ktora napisalem u góry i wyszedl im 0, czyli sie przecinaja.

[kerajs]

Co do wyznacznika:

Ukryta treść:    

Przypuszczam że warunek przecinania się prostych wyglądał tak:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}
x _{1}-x _{2} & y _{1}-y _{2} & z_{1}-z_{2} \\
x _{k_1} & y _{k_1} & z _{k_1} \\
x _{k_2} & y _{k_2} & z _{k_2}
\end{array}\right|=0}\)
gdzie elementy pierwszego wiersza to różnice miedzy współrzędnymi punktów zaczepienia obu prostych, elementy drugiego wiersza to współrzędne wektora kierunkowego pierwszej prostej, a elementy trzeciego wiersza to współrzędne wektora kierunkowego prostej drugiej.

Wektor prostopadły do nierównoległych wektorów kierunkowych wyliczasz tak:
\(\displaystyle{ \vec{n}= \vec{k_1} \times \vec{k_2}= \left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
x _{k_1} & y _{k_1} & z _{k_1} \\
x _{k_2} & y _{k_2} & z _{k_2}
\end{array}\right|=0}\)

Płaszczyzna zawierająca drugą prostą to zbiór wszystkich punktów \(\displaystyle{ P=(x,y,z)}\) takich że wektor \(\displaystyle{ PP_2}\) jest prostopadły do wyliczonego wyżej wektora \(\displaystyle{ \vec{n}}\). (Punkt P2 to punkt zaczepienia drugiej prostej)
Załatwia to iloczyn skalarny:
\(\displaystyle{ \vec{P_2P}\circ \vec{n}=0}\)
\(\displaystyle{ \left[ x-x_2,y-y_2,z-z_2\right] \circ \left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
x _{k_1} & y _{k_1} & z _{k_1} \\
x _{k_2} & y _{k_2} & z _{k_2}
\end{array}\right|=0}\)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}
x -x _{2} & y-y _{2} & z-z_{2} \\
x _{k_1} & y _{k_1} & z _{k_1} \\
x _{k_2} & y _{k_2} & z _{k_2}
\end{array}\right|=0}\)
Takie równanie płaszczyzny pewnie znasz. Jeśli proste się przecinają to i pierwsza prosta należy do płaszczyzny więc jej punkt zaczepienia spełnia równanie będące rozwinięciem wyznacznika.
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}
x _{1}-x _{2} & y _{1}-y _{2} & z_{1}-z_{2} \\
x _{k_1} & y _{k_1} & z _{k_1} \\
x _{k_2} & y _{k_2} & z _{k_2}
\end{array}\right|=0}\)
Gdy wyznacznik się nie zeruje to P_1, a wiec i pierwsza prosta nie należą do płaszczyzny więc proste się nie przecinają.

[Kacperdev]

Mój błąd. żle przekształciłem układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2t-s=-2\\ -t-2s=-9\\3t-s=-1 \end{cases}}\)

Faktycznie ten układ ma rozwiązanie. Stad proste się przetną.

[szuchasek]

Nie rozumiem jak doszedles do tego ostatniego układu...

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ l _{1}: \begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t-2\\ z=3t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ l _{2}: \begin{cases} x=s-1 \\ y=2s -11\\ z=s-1 \end{cases}}\)

porównuje po współrzednych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2t+1=s-1 \\ -t-2=2s -11\\ 3t=s-1 \end{cases}}\)