Zbadaj wzajemne położenie prostych w przestrzeni

[Rotgar]

Witam. Treść jak w temacie. Proste: \(\displaystyle{ l: x=1+t , y=t , z=2}\) oraz \(\displaystyle{ k: x=s , y=7-s , z=1+s ; s,r \in R}\). Dodatkowo mam znaleźć równanie prostej m przecinającej prostopadle te dwie proste. Ich wektory kierunkowe to \(\displaystyle{ l: (1,1,0) , k:(1,-1,1)}\) jeśli się nie mylę. Obliczając iloczyn skalarny wychodzi równy 0, czyli te proste są prostopadłe? Ale kiedy chcę znaleźć ich punkt wspólny, układ \(\displaystyle{ 1+t=s ; t=7-s ; 2=1+s}\)wychodzi sprzeczny, bo wynika że \(\displaystyle{ s=1}\), a wtedy\(\displaystyle{ t=0}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ t=6}\). Tego za bardzo nie rozumiem.

[Kacperdev]

No ale przecież dwie prostopadłe do siebie proste nie muszą sie wcale przecinać w \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Jak się przecinają to bardzo wyjątkowa sytuacja tak naprawdę.

zauważ, że: \(\displaystyle{ (1,1,0) \times (1,-1,1) = \vec{m}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \vec{m}}\) to wektor kierunkowy szukanej prostej.

[SlotaWoj]

Ale kiedy chcę znaleźć ich punkt wspólny, układ \(\displaystyle{ 1+t=s ; t=7-s ; 2=1+s}\) wychodzi sprzeczny, ...

Nie wychodzi sprzeczny. Błąd

Zachodzi \(\displaystyle{ \red s=t+1}\) i dla \(\displaystyle{ \red t=3}\) i \(\displaystyle{ \red s=4}\) obie proste przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ \red(4;3;2)}\) .

Edit:

Pomyliłem się w jednym z podstawień, co zgłosił Kacperdev poniżej.

[Kacperdev]

SlotaWoj, ten układ jest sprzeczny.