Równanie okręgu przechodzącego przez punkty
Równanie okręgu przechodzącego przez punkty
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(7,2) i B=(14,23) i stycznego do prostej k o równaniu x-2y=8. Ile jest takich okręgów?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Równanie okręgu przechodzącego przez punkty
1.
Środek okręgu leży na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\) czyli na prostej:
\(\displaystyle{ y= \frac{-1}{3}x+16}\).
Równanie okręgu ma postać:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-(\frac{-1}{3}a+16))^2=\left( \sqrt{(a-7)^2+((\frac{-1}{3}a+16)-2)^2} \right)^2}\)
Okrąg ze styczną ma jeden punkt współny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+(y-(\frac{-1}{3}a+16))^2=(a-7)^2+(\frac{-1}{3}a+14)^2 \\ x=2y+8\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (2y+8-a)^2+(y-(\frac{-1}{3}a+16))^2=(a-7)^2+(\frac{-1}{3}a+16-2)^2\\
5y^2+......y+.......=0\\
\Delta=0}\)
2.
Niech odległość punktu A od stycznej wynosi k, odległość punktu B od stycznej wynosi l, a odległość ich rzutów (A', B') na styczną wynosi m. Oblicz je.
Odległość rzutu środka okręgu od B' nazwę q (które może być ujemne).
Należy rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (m+q)^2+(a-r)^2=r^2 \\ (q)^2+(b-r)^2=r^2 \end{cases}}\)
z niewiadomymi \(\displaystyle{ q,r}\)
Środek okręgu leży na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\) czyli na prostej:
\(\displaystyle{ y= \frac{-1}{3}x+16}\).
Równanie okręgu ma postać:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-(\frac{-1}{3}a+16))^2=\left( \sqrt{(a-7)^2+((\frac{-1}{3}a+16)-2)^2} \right)^2}\)
Okrąg ze styczną ma jeden punkt współny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+(y-(\frac{-1}{3}a+16))^2=(a-7)^2+(\frac{-1}{3}a+14)^2 \\ x=2y+8\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (2y+8-a)^2+(y-(\frac{-1}{3}a+16))^2=(a-7)^2+(\frac{-1}{3}a+16-2)^2\\
5y^2+......y+.......=0\\
\Delta=0}\)
2.
Niech odległość punktu A od stycznej wynosi k, odległość punktu B od stycznej wynosi l, a odległość ich rzutów (A', B') na styczną wynosi m. Oblicz je.
Odległość rzutu środka okręgu od B' nazwę q (które może być ujemne).
Należy rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (m+q)^2+(a-r)^2=r^2 \\ (q)^2+(b-r)^2=r^2 \end{cases}}\)
z niewiadomymi \(\displaystyle{ q,r}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Równanie okręgu przechodzącego przez punkty
Współrzędne środka okręgu \(\displaystyle{ ( a , b).}\)
\(\displaystyle{ r = \frac{|a-2b -8|}{\sqrt{1^2 +(-2)^2}}}\) (odległość środka od prostej stycznej).
\(\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} (7 - a)^2 + (2-b)^2 =\frac{(a-2b -8)^2}{5},\\
(14 - a)^2 + (23- b)^2 =\frac{(a-2b -8)^2}{5} \end{matrix} \right.}\)
Po rozwiązaniu układu równań stwierdzimy, że są dwa takie okręgi.
\(\displaystyle{ r = \frac{|a-2b -8|}{\sqrt{1^2 +(-2)^2}}}\) (odległość środka od prostej stycznej).
\(\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} (7 - a)^2 + (2-b)^2 =\frac{(a-2b -8)^2}{5},\\
(14 - a)^2 + (23- b)^2 =\frac{(a-2b -8)^2}{5} \end{matrix} \right.}\)
Po rozwiązaniu układu równań stwierdzimy, że są dwa takie okręgi.