Równanie okręgu przechodzącego przez punkty

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
jajo506
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 15 gru 2016, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kalisz

Równanie okręgu przechodzącego przez punkty

Post autor: jajo506 »

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(7,2) i B=(14,23) i stycznego do prostej k o równaniu x-2y=8. Ile jest takich okręgów?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Równanie okręgu przechodzącego przez punkty

Post autor: kerajs »

1.
Środek okręgu leży na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\) czyli na prostej:
\(\displaystyle{ y= \frac{-1}{3}x+16}\).
Równanie okręgu ma postać:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-(\frac{-1}{3}a+16))^2=\left( \sqrt{(a-7)^2+((\frac{-1}{3}a+16)-2)^2} \right)^2}\)
Okrąg ze styczną ma jeden punkt współny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+(y-(\frac{-1}{3}a+16))^2=(a-7)^2+(\frac{-1}{3}a+14)^2 \\ x=2y+8\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (2y+8-a)^2+(y-(\frac{-1}{3}a+16))^2=(a-7)^2+(\frac{-1}{3}a+16-2)^2\\
5y^2+......y+.......=0\\
\Delta=0}\)



2.
Niech odległość punktu A od stycznej wynosi k, odległość punktu B od stycznej wynosi l, a odległość ich rzutów (A', B') na styczną wynosi m. Oblicz je.
Odległość rzutu środka okręgu od B' nazwę q (które może być ujemne).
Należy rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (m+q)^2+(a-r)^2=r^2 \\ (q)^2+(b-r)^2=r^2 \end{cases}}\)
z niewiadomymi \(\displaystyle{ q,r}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Równanie okręgu przechodzącego przez punkty

Post autor: janusz47 »

Współrzędne środka okręgu \(\displaystyle{ ( a , b).}\)

\(\displaystyle{ r = \frac{|a-2b -8|}{\sqrt{1^2 +(-2)^2}}}\) (odległość środka od prostej stycznej).

\(\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} (7 - a)^2 + (2-b)^2 =\frac{(a-2b -8)^2}{5},\\

(14 - a)^2 + (23- b)^2 =\frac{(a-2b -8)^2}{5} \end{matrix} \right.}\)


Po rozwiązaniu układu równań stwierdzimy, że są dwa takie okręgi.
ODPOWIEDZ