Dzielenie sfery kołami wielkimi

[Mariusz Janosz]

Na ile maksymalnie części podzieli sferę n kół wielkich?

[Slup]

Myślę, że jeśli przeczytasz uważnie ten wątek

414410.htm

to sam przekonasz się, że zastosowane tam argumenty pasują jeszcze lepiej w Twoim pytaniu.

Dwa różne koła wielkie przecinają się zawsze w dokładnie dwóch punktach. Wobec czego tu faktycznie wychodzi dokładnie \(\displaystyle{ n^2-n+2}\) części, które realizuje dowolny wybór \(\displaystyle{ n}\) parami różnych kół wielkich na sferze.
W razie wątpliwości służę pomocą.

[Mariusz Janosz]

Rozumiem, że w tamtym temacie było przedstawione, że płaszczyzna może być podzielona okręgami na co najwyżej \(\displaystyle{ n^2-n+2}\) części. I jest ona podzielona na dokładnie \(\displaystyle{ n^2-n+2}\) części kiedy każde dwa okręgi przecinają się w dokładnie dwóch punktach. A jako, że na sferze każde dwa okręgi wielkie przecinają się w dwóch punktach (poza okręgami leżącymi na sobie, ale je liczymy jako jeden) to \(\displaystyle{ n^2-n+2}\) określa dokładnie ilość obszarów na które sfera została podzielona. W całym tamtym temacie nie do końca rozumie twój ostatni post. Dokładniej chodzi mi o ten rekurencyjny wzór

\(\displaystyle{ f(n+1)=f(n)+2n}\)

gdybyś mógł dokładnie wyjaśnić skąd on się bierze.

[Slup]

Jedna uwaga do tego, co napisałeś i co ja napisałem wyżej. Płaszczyzna jest podzielona \(\displaystyle{ n^2-n+2}\) części przy pomocy \(\displaystyle{ n}\) okręgów, jeżeli każde dwa okręgi przecinają się w dwóch punktach i żadne trzy nie przecinają się w tym samym punkcie. W przeciwnym razie liczba obszarów jest mniejsza.

Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) oznacza liczbę obszarów na które podzieli sferę \(\displaystyle{ n}\) różnych kół wielkich. Wtedy
\(\displaystyle{ f(n+1)=f(n)+2n}\)
co wraz z oczywistym warunkiem \(\displaystyle{ f(1)=2}\) pociąga, że \(\displaystyle{ f(n)=n^2-n+2}\). Dowód jest dokładnie taki sam jak ten w moim drugim wpisie tamtego tematu.
Zdaje się, że rzut stereograficzny zachowuje okręgi(tzn. posyła koła wielkie na sferze w okręgi lub proste na płaszczyźnie) i to jest prawdziwy powód dlaczego te dwa tematy są właściwie tym samym tematem tylko widzianym z różnych perspektyw. Przy czym perspektywa geometrii sferycznej jest moim zdaniem prostsza, dlatego uważam, że świetnie się stało, że założyłeś ten temat.

[Mariusz Janosz]

Teraz jak jeszcze raz wróciłem do tamtego tematu ponownie go przetrawiłem wszystko stało się jasne. Wielkie dzięki za odpowiedź.