Problem kaletnika

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
rzezbiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 cze 2016, o 09:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Problem kaletnika

Post autor: rzezbiarz »

Mam problem z pewnym zadaniem analitycznym, treść jego jest następująca.

Pewien kaletnik musi wyliczać liczbę nitów, które zużyje w swojej pracy
ze skórzanym pokrowcem. Pokrowiec może mieć znormalizowane rozmiary
a jego kształt przedstawiony jest na stronie
Jest on koloru szarego i zawsze jego obszar ograniczają trzy funkcje.

Górny brzeg pokrowca ograniczony jest funkcją: \(\displaystyle{ \sin (x)+2}\) (lub inna dopuszczalna krzywa),
Lewy bok ogranicza prosta o równaniu: \(\displaystyle{ x=1}\),
Dół pokrowca ogranicza prosta o równaniu: \(\displaystyle{ y=1}\).

Warunki:
1. Pierwszy klin kaletnik zawsze wbije w punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\) a następne będą wbijane
o wektor przesunięcia \(\displaystyle{ (0,1)}\) lub \(\displaystyle{ (1,0)}\).
2. Funkcja ograniczająca od góry może mieć inne równanie.
3. W rozwiązaniu nie można użyć funkcji rekurencyjnej.

A pytanie jest takie (jak wyliczyć oczywiście algebraicznie):
Ile dokładnie kaletnik musi mieć nitów, poglądowo zaznaczone są one grubymi kropkami
na rysunku.
Ostatnio zmieniony 26 lis 2016, o 13:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Problem kaletnika

Post autor: SlotaWoj »

Zdefiniuj porządnie problem, to może ktoś Ci pomoże.
Domyślam się, że trzeba „obejść w koło” skórę, ale nie jest to możliwe, gdy jedynymi możliwymi posunięciami są jedynie o wektory jednostkowe osi.
A co ze średnicą nitu?
Czy jest dopuszczalne posunięcie do pozycji, w której już jest nit (oczywiście już wtedy drugiego wbić nie można)?
rzezbiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 cze 2016, o 09:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Problem kaletnika

Post autor: rzezbiarz »

Średnica nitu jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 0,25}\) jednostki. Tak naprawdę jest jak najmniejsza ponieważ
w uproszczeniu należy przyjąć, że każdy nit ma średnicę równą zero.
Czyli jest to zbiór punktów znajdujących się w ograniczonym obszarze w ortogonalnej siatce.

Przypomina mi to trochę "grę w kropki na kartce papieru" tylko, że tutaj trzeba zliczyć ilość kropek,
które są zamknięte w danym obszarze a liczenie zaczynamy od punktu \(\displaystyle{ (1,1)}\)
i tak jak słusznie Pan zauważył możemy posuwać się do kolejnego miejsca na nit (punkt) ale tylko
o skok jednostkowy.
W takim przypadku także nity mogą znajdować się wewnątrz zdefiniowanego obszaru jak i na jego brzegach.

Cel rozwiązania jest taki aby zliczyć ilość nitów (punktów)
Ostatnio zmieniony 26 lis 2016, o 13:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Problem kaletnika

Post autor: SlotaWoj »

Widzę, że problem nie jest praktyczny i polega jedynie na zliczaniu, więc nie trzeba mówić o poruszaniu się ani o położeniu pierwszego „liczonego” nitu.
A co z prawym ograniczeniem. Jeżeli funkcja „u góry” może być dowolna, to może ono być niezbędne.
rzezbiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 cze 2016, o 09:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Problem kaletnika

Post autor: rzezbiarz »

Nie wiem czy dobrze Pana zrozumiałem ale co ma Pan na myśli pisząc,
że "problem nie jest praktyczny i polega jedynie na zliczaniu"
Czyli według Pana opinii można zliczać nity bez względu
na ich położenie w zadanym obszarze?

#1
Zaproponuję z mojej strony głębszą analizę zagadnienia na przykładzie kartki i kalki:

Proszę Sobie wyobrazić półprzezroczystą kalką techniczną z zaznaczonymi \(\displaystyle{ 10\times 10}\) punktami
w równych odstępach pomiędzy każdym wierszem jak i kolumną.
Czyli mam tak naszkicowaną macierz (tabelę z równo rozstawionymi od siebie nitami)
Co daje nam łącznie \(\displaystyle{ 100}\) nitów do zużycia.
Następnie pod tą kalkę kładziemy kartkę bazową z narysowanym mniejszym obszarem.
Kartka ta jest nieruchoma (np. przyklejona do podłoża),
natomiast nad nią możemy swobodnie przemieszczać wyłącznie półprzezroczystą kalkę.

Jak widać w takim przypadku położenie samych punktów staje się już kluczowe,
gdyż mając ten sam obszar i poruszając nad nim kalką z macierzą 10x10 - uzyskujemy różne wyniki, zależne od położenie naszego nitu startowego (bazowego).
Jest to oczywiście naturalny warunek brzegowy o którym była mowa
w zadaniu, dlatego z tej przyczyny należy go uwzględnić i jest to nasz
nit bazowy (punkt startowy o współrzędnych \(\displaystyle{ [1,1]}\)),
którego położenie jest zdeterminowane poprzez przecięcie się dwóch prostych (\(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ y=1}\))
ograniczających badany obszar skóry/materiału.

#2
Odnośnie drugiej części pytania to sprowadźmy zagadnienie
prawego ograniczenia do obszaru ograniczonego prawostronnie
funkcją \(\displaystyle{ \sin (x)+2.}\)
Ostatnio zmieniony 26 lis 2016, o 13:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Problem kaletnika

Post autor: SlotaWoj »

Niech „górna” funkcja jest np. taka:
  • \(\displaystyle{ y=\frac{\sin x+2}{3}}\)
Co wówczas z prawym ograniczeniem?
rzezbiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 cze 2016, o 09:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Problem kaletnika

Post autor: rzezbiarz »

Jaj najbardziej jest to trafna uwaga, przyznaję. Oczywiście ma Pan słuszność.

W zadaniu jest mowa o trzech funkcjach, które zostały opisane równaniami,
dołączyłem także rysunek poglądowy ale mógł być nie czytelny.
Proszę w takim przypadku zobaczyć ten oto dokładniejszy rysunek

Widać na nim ile nitów jest niezbędnych do wykonania pracy (punkty koloru czerwonego).

Funkcje definiujące obszar pracy kaletnika:
\(\displaystyle{ \begin {cases}
y=\sin x + 2
\\y=1
\\x=1
\end {cases}}\)
Ostatnio zmieniony 26 lis 2016, o 13:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
rzezbiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 cze 2016, o 09:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Problem kaletnika

Post autor: rzezbiarz »

Korekta definicji - funkcje definiujące obszar pracy kaletnika:
\(\displaystyle{ \begin {cases}
y \le \sin x + 2
\\y \ge 1
\\x \ge 1
\end {cases}}\)
ODPOWIEDZ