Wektory kolinearne, liniowo zależne i komplanarne

[slimakslimak]

Czy ktoś wytłumaczy mi różnicę pomiędzy wektorami komplanarnymi, liniowo zależnymi i kolinearnymi? Wiem, że kolinearane są równoległe do tej samej prostej, a komplanarne do płaszczyzny, ale dla mnie te wszystkie przypadki się sprowadzają do jednej rzeczy, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest stałą rzeczywistą to \(\displaystyle{ \vec{x} \cdot k=\vec{y}}\). Czyli wszystkie są po prostu równoległe do siebie.

[Kacperdev]

wektory komplanarne z def. to trzy wektory współpłaszczyznowe, więc ten warunek nie działa.
Jeżeli jednak przyjmujemy, że dwa wektory są współplaszczyznowe to nie muszą one być liniowo zależne. i warunek

\(\displaystyle{ k\cdot \vec{x}=\vec{y}}\) takze nie zadziała.

Co więcej dwa wektory współpłaszczyznowe, ale niewspóliniowe są liniowo niezależne.

[slimakslimak]

Czyli to równanie dotyczy tylko wektorów liniowo zależnych.
Dwa wektory leżące na tej samej płaszczyźnie są kolinearne, a trzy wektory komplanarne.
Dobrze rozumiem?

[Kacperdev]

kolinearne \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) liniowo zależne

Dwa wektory leżące na tej samej płaszczyźnie \(\displaystyle{ \not\Rightarrow}\) liniowo zalezne

[slimakslimak]

Mam jeszcze jedno pytanie.
\(\displaystyle{ \left(\sum_{i=1}^{n} k_{i} \cdot \vec{a_{i}} =\vec{0} \right) \Rightarrow \left(\forall_{i=1,2,...,n} k_{i}=0\right)}\)
Wykładowca napisał coś takiego, ale druga cześć implikacji wydaje mi się bez sensu. Czy to jest poprawnie?

[Kacperdev]

Jest ok. Można nawet pokusić się o równoważność. Jest to właśnie warunek na liniową niezależność.
kombinacja liniowa wektorów \(\displaystyle{ \vec{a_i}}\) zeruje się wtedy i tylko wtedy gdy każdy współczynnik \(\displaystyle{ k_i}\) jest równy zero.

[slimakslimak]

Chyba po prostu odczytałam to błędnie - że jedyny przypadek gdy wektory są liniowo niezależne to ten gdy wszystkie współczynniki są równe 0, a to jest chyba tylko warunek wystarczający. Dzięki za wszystkie odpowiedzi C: