Prosta w przestrzeni
Prosta w przestrzeni
Podaj równanie prostej w przestrzeni w postaci normalnej, jeżeli wiadomo, że prosta jest wyznaczona przez przecięcie płaszczyzn \(\displaystyle{ \vec{r} \cdot \vec{ a_{1}}= \alpha _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{r} \cdot \vec{ a_{2}}= \alpha _{2}}\) , gdzie \(\displaystyle{ \vec{a_{1}}= \vec{i} + \vec{k} , \vec{a_{2}}= \vec{i} , \alpha_{1}=2, \alpha_{2}=-3.}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Prosta w przestrzeni
Rysunek (dwie przecinające się proste (przekroje płaszczyzn) z wektorami do nich odpowiednio prostopadłymi \(\displaystyle{ \vec{a_{1}}, \ \ \vec{a_{2}}}\) ).
Wektor \(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}}\) jest prostopadły do płaszczyzny rysunku jest więc równoległy do szukanej prostej.
Równanie prostej \(\displaystyle{ \vec{r}\times (\vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}) = \vec{b}}\)
Nie znamy współrzędnych wektora \(\displaystyle{ \vec{b}.}\) Gdybyśmy znali znali współrzędne dowolnego punktu na prostej to można byłoby obliczyć współrzędne tego wektora.
Szukanie współrzędnych takiego punktu nie jest jednak konieczne.
Uwzględnijmy podwójny iloczyn wektorowy:
\(\displaystyle{ \vec{r}\times (\vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}) = (\vec{r}\cdot \vec{a_{2}})\cdot \vec{a_{1}} - (\vec{r}}\cdot \vec{a_{1}})\cdot \vec{a_{2}}}\)
Punkty \(\displaystyle{ \vec{r}}\) leżące na prostej - należą jednocześnie do obu płaszczyzn.
Dla dowolnego punktu na prostej muszą więc zachodzić:
\(\displaystyle{ \vec{r}\cdot \vec{a_{1}} = \alpha_{1}, \ \ \vec{r}\cdot \vec{a_{2}} = \alpha_{2}.}\)
Pozwala to nam obliczyć wektor \(\displaystyle{ \vec{b},}\) a mianowicie
\(\displaystyle{ \vec{r}\times (\vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}) = (\vec{r}\cdot \vec{a_{2}})\cdot \vec{a_{1}} - (\vec{r}}\cdot \vec{a_{1}})\cdot \vec{a_{2}}= \alpha_{2}\cdot \vec{a_{1}} - \alpha_{1}\cdot \vec{a_{2}}.}\)
Podstawiamy dane:
\(\displaystyle{ \vec{r}\times [\left (\vec{i}+\vec{k})\times \vec{i} \right] = -3(\vec{i} +\vec{k} )- 2\vec{i}.}\)
\(\displaystyle{ \vec{r}\times ( \vec{i}\times \vec{i}+ \vec{k}\times \vec{i}) = -5\vec{i} - 3\vec{k}.}\)
Stąd równanie prostej:
\(\displaystyle{ \vec{r}\times \vec{j} = -5\vec{i} - 3\vec{k}.}\)
Wektor \(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}}\) jest prostopadły do płaszczyzny rysunku jest więc równoległy do szukanej prostej.
Równanie prostej \(\displaystyle{ \vec{r}\times (\vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}) = \vec{b}}\)
Nie znamy współrzędnych wektora \(\displaystyle{ \vec{b}.}\) Gdybyśmy znali znali współrzędne dowolnego punktu na prostej to można byłoby obliczyć współrzędne tego wektora.
Szukanie współrzędnych takiego punktu nie jest jednak konieczne.
Uwzględnijmy podwójny iloczyn wektorowy:
\(\displaystyle{ \vec{r}\times (\vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}) = (\vec{r}\cdot \vec{a_{2}})\cdot \vec{a_{1}} - (\vec{r}}\cdot \vec{a_{1}})\cdot \vec{a_{2}}}\)
Punkty \(\displaystyle{ \vec{r}}\) leżące na prostej - należą jednocześnie do obu płaszczyzn.
Dla dowolnego punktu na prostej muszą więc zachodzić:
\(\displaystyle{ \vec{r}\cdot \vec{a_{1}} = \alpha_{1}, \ \ \vec{r}\cdot \vec{a_{2}} = \alpha_{2}.}\)
Pozwala to nam obliczyć wektor \(\displaystyle{ \vec{b},}\) a mianowicie
\(\displaystyle{ \vec{r}\times (\vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}) = (\vec{r}\cdot \vec{a_{2}})\cdot \vec{a_{1}} - (\vec{r}}\cdot \vec{a_{1}})\cdot \vec{a_{2}}= \alpha_{2}\cdot \vec{a_{1}} - \alpha_{1}\cdot \vec{a_{2}}.}\)
Podstawiamy dane:
\(\displaystyle{ \vec{r}\times [\left (\vec{i}+\vec{k})\times \vec{i} \right] = -3(\vec{i} +\vec{k} )- 2\vec{i}.}\)
\(\displaystyle{ \vec{r}\times ( \vec{i}\times \vec{i}+ \vec{k}\times \vec{i}) = -5\vec{i} - 3\vec{k}.}\)
Stąd równanie prostej:
\(\displaystyle{ \vec{r}\times \vec{j} = -5\vec{i} - 3\vec{k}.}\)