Powierzchnie obrotowe

[calgonit]

Witam!
Szukam sposobu na przejście z równania parametrycznego krzywej do równania parametrycznego powierzchni powstałej przez obrót tejże krzywej dookoła osi Y, zakładając, że obracana krzywa jest opisana równaniem na płaszczyźnie XY.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
\left x=f(t) \\
\left y=f(t) & z \in \infty \\
\end{matrix}\right.}\)

i z tego potrzebuje coś w stylu :

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
\left x=f(t,\alpha) & \\
\left y=f(t) & \\
\left z=f(t,\alpha) & \alpha - kat?\\
\end{matrix}\right.}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
\left x=f(t) \\
\left y=f(t) & z \in \infty \\
\end{matrix}\right.}\)

tu dostajesz \(\displaystyle{ x=y}\) więc obracasz prostą (lub jej fragmentami). O to Ci
chodziło? ( O ,,z' nawet nie pytam)

Dla:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}}\)
powierzchnia ma równanie :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=f(t)\cos \alpha \\ y=g(t) \\ z=f(t)\sin \alpha \end{cases}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0,2\pi\right\rangle}\)

[kruszewski]

A twierdzenia Pappusa-Guldina nie dało by się tu użyć?

[kerajs]

Nie, gdyż nie znamy żadnych wymiarów uzyskanej bryły obrotowe. \(\displaystyle{ f(t)}\) i \(\displaystyle{ g(t)}\) są dowolnymi funkcjami parametru t.