Wyznacz równania stycznych do 2 danych okręgów

[Ania221]

Podręcznikowe zadanie.
Wyznacz równania wspólnych stycznych do okręgów:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=5}\) oraz \(\displaystyle{ (x-5)^2+(y-5)^2=20}\)

Odpowiedź:
\(\displaystyle{ x+2y-5=0 \\
x-2y-5=0 \\
2x+y-5=0 \\
-2x+y-5=0}\)

I ja nawet zrobiłam zdanie i otrzymałam takie odpowiedzi.
Ale zrobiłam je takim sposobem, że najpierw przy pomocy zwykłej geometrii znalazłam punkt przecięcia obu stycznych zewnętrznych, i wyliczyłam równania tych stycznych ze wzoru na odległość punktu od prostej przechodzącej przez dany punkt.
Potem znalazłam punkt przecięcia stycznych wewnętrznych i analogicznie znalazłam ich równania.
Ale to jest strasznie pracochłonne rozwiązanie.
Zna ktoś może prostszy sposób?

[kerajs]

Może tak będzie ciut szybciej.

Z podobieństwa trójkątów prostokątnych jakie tworzą środki okręgów \(\displaystyle{ O_1 , O_2}\) oraz:
a) punkty styczności i punkt (P) przecięcia się stycznych leżących pomiędzy okręgami:
\(\displaystyle{ \vec{O_1P}= \frac{r_1}{r_1+r_2} \vec{O_1O_2}}\)
lub
\(\displaystyle{ \vec{O_2P}= \frac{r_2}{r_1+r_2} \vec{O_1O_2}}\)
albo
\(\displaystyle{ r_2 \cdot \vec{O_1P}= r_1 \cdot \vec{PO_2}}\)

Tu:
\(\displaystyle{ \left[ x_p-0,y_p-0\right]= \frac{ \sqrt{5} }{\sqrt{5}+2\sqrt{5}} \left[ 5-0,5-0\right]\\
P= \left( \frac{5}{3} , \frac{5}{3} \right)}\)
albo
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{5} \left[ x_p-0,y_p-0\right]= \sqrt{5} \left[ 5-x_p,5-y_p\right]\\
P= \left( \frac{5}{3} , \frac{5}{3} \right)}\)

b) punkty styczności i punkt (P') przecięcia się stycznych leżących poza okręgami:
\(\displaystyle{ r_2 \cdot \vec{O_1P'}= r_1 \cdot \vec{O_2P'}}\)

Tu:
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{5} \left[ x_p-0,y_p-0\right]= \sqrt{5}\left[ x_p-5,y_p-5\right]\\
P=\left( -5,-5 \right)}\)

W obu sytuacjach zadanie sprowadza się teraz do znalezienia stycznych do jednego z okręgów i przechodzących przez punkt P (P').

Rozwiązanie analityczne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \begin{cases} y=ax+b \\ x^2+y ^2=5\end{cases} \\ \begin{cases} y=ax+b\\ (x-5)^2+(y-5)^2=20\end{cases} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \begin{cases} y=ax+b \\ x^2+(ax+b) ^2=5\end{cases} \\ \begin{cases} y=ax+b\\ (x-5)^2+(ax+b-5)^2=20\end{cases} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+(ax+b) ^2=5 \\ (x-5)^2+(ax+b-5)^2=20\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta_1=0\\ \Delta_2=0 \end{cases}}\)
zwykle jest irytująco czasochłonne.

[Ania221]

No tak...ja to dokładnie tak zrobiłam.
Ale to jest strasznie żmudne...szukam sposobu na zrobienie tego bezpośrednio ze wzoru na odległość szukanej prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) raz od środka jednego okręgu, drugi raz od środka drugiego okręgu.
I tez nawet mi coś wychodzi...przy rozpatrzeniu pierwszego przypadku, na 4 otrzymane proste jedna pokrywa sie z jedną z prostych w odpowiedzi
A są jeszcze do rozpatrzenia 3 przypadki i spasowałam.