Symetria względem płaszczyzny

[india44]

Treść zadania:

Proste \(\displaystyle{ l_{1}: \frac{x-5}{4}=1-y=-z}\) i \(\displaystyle{ l _{2}: 2x+4=3y=6z+18}\) są symetryczne względem płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\). Wyznaczyć równanie parametryczne i ogólne płaszczyzn spełniających warunki narzucone na płaszczycznę \(\displaystyle{ \pi}\).

Strategia jaką wymyśliłem:
(1) Sprawdzam czy proste są równoległe lub skośne ---> nie są ani takie, ani takie.
(2) Przekształcam równania prostych \(\displaystyle{ l _{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\) do postaci parametrycznej.
(3) Układam funkcję dwóch zmiennych \(\displaystyle{ d(s, t)}\) (parametrów prostych \(\displaystyle{ l _{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\)) odległości dwóch punktów leżących na prostych \(\displaystyle{ l _{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\).
(4) Wyznaczam minimum lokalne funkcji \(\displaystyle{ d(s, t)}\).
(5) Wyznaczam po punkcie na każdej z prostych \(\displaystyle{ l _{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\) których odległość jest najmniejsza dzięki znajomości minimum funkcji \(\displaystyle{ d(s, t)}\) wstawiając współrzędne minimum do równań parametrycznych prostych \(\displaystyle{ l _{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\).
(6) Liczę współrzędne środka odcinka wyliczonego w (5). Punkt ten będzie należał do płaszczyzny symetrii \(\displaystyle{ \pi}\).
(7) Iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych prostych \(\displaystyle{ l _{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\) to wektor normalny płaszczyzny symetrii \(\displaystyle{ \pi}\).
(8) Dzięki (6) i (7) wyznaczam równanie płaszczyzny symetrii \(\displaystyle{ \pi}\).

Pytanko: Czy jest szybszy sposób? Jeżeli tak to jaki?

Pytam z tego powodu, że na egzaminie na jedno zadanie jest bardzo mało czasu, a w/w strategia jest dosyć pracochłonna.

[kerajs]

\(\displaystyle{ l_1: \frac{x-5}{4}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z-0}{-1}}\)
\(\displaystyle{ l_2: \frac{x+2}{ \frac{1}{2} } = \frac{y-0}{ \frac{1}{3} } =\frac{z+3}{ \frac{1}{6} }}\)

Kiedy dwie proste są symetryczne względem płaszczyzny ? Gdy leżą w jednej płaszczyźnie.
Masz tylko trzy przypadki:
a)są równoległe ale rozłączne - jest tylko jedna płaszczyzna symetrii
b)są równoległe ale się pokrywają - jest nieskończenie wiele płaszczyzn symetrii
c)przecinają się - są dwie płaszczyzny symetrii

W przypadku c ) zaczep płaszczyznę w punkcie ich przecięcia, a wektor normalny będzie sumą (dla pierwszej płaszczyzny symetrii) lub różnicą (dla drugiej płaszczyzny symetrii) unormowanych (czyli o długości 1) wektorów kierunkowych danych prostych.

Twoja strategia:
Punkty (1)-(6) sugerują że zakładasz iż proste się nie przecinają. Jednakże jeśli one się nie przecinają i jednocześnie nie są równoległe (czyli są skośne) to nie mogą być symetryczne.
Proste skośne będą równoległe do płaszczyzny z (7) więc nie będzie ona nigdy płaszczyzną ich symetrii.

[india44]

Sorry, wkradł się błąd:

(1) Sprawdzam czy proste są równoległe lub skośne ---> nie są ani takie, ani takie.

Są skośne oczywiście. Nie że sobie tak zakładam, tylko tak wynika z rachunków
\(\displaystyle{ P_{1}=(5,1,0)\\
P_{2}=(-2,0,-3)\\
\vec{ v_{1} } =[4,-1,-1]\\
\vec{ v_{2} } =[ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6} ] \\
\vec{P _{1} P_{2} }=[-7,-1,-3]\\
\vec{ v_{1}} \circ ( \vec{ v_{2}} \times \vec{P _{1} P_{2}} )=\left|\begin{array}{ccc}4&-1&-1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\-7&-1&-3\end{array}\right|=- \frac{11}{2} \neq 0}\)

Wniosek: Proste \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\) są skośne.

Więc płaszczyzna symetrii nie istnieje...