Położenie prostej i płaszczyzny - p.przebicia, kąt

[winuszka]

Cześć. Zadanie brzmi następująco:

Niech \(\displaystyle{ \pi}\) będzie płaszczyzną przechodzącą przez \(\displaystyle{ A(3,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,2)}\). Niech \(\displaystyle{ l}\) będzie prostą równoległą do wektora \(\displaystyle{ \vec{r}=[2,3,-1]}\) i przechodzącą przez \(\displaystyle{ P(1,1,1)}\). Określić wzajemne położenie prostej i płaszczyzny. Jeżeli prosta przebija płaszczyznę, wyznaczyć współrzędne punktu przebicia i kąt między prostą a płaszczyzną.

Z podanych informacji wyznaczyłam wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{N} =\vec{AB}\times\vec{AC}=[-2,6,-3]}\), a następnie równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : -2x+6x-3z-6=0}\).
Stwierdziłam, że \(\displaystyle{ l}\) nie jest prostopadła (poprzez sprawdzenie równoległości \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ N}\)) ani równoległa (tu natomiast poprzez sprawdzenie prostopadłości \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ N}\)). Czyli muszę wyznaczyć punkt przebicia oraz kąt.

Nie wiem jak się zabrać do tego.
Próbowałam wyliczyć parametr \(\displaystyle{ t}\), podstawiając \(\displaystyle{ x,y,z}\) z równania parametrycznego prostej do równania płaszczyzny,
\(\displaystyle{ -2x+6y-3z-6=0 \\
x= 1+2t \\
y= 1+3t \\
z=1- t}\)
ale nie wiem co dalej. To mi daje tylko informację, że istnieje \(\displaystyle{ Q= l \cap \pi}\) dla \(\displaystyle{ t= \frac{5}{17}}\).
Nie wiem czy dobrze myślę, ale jeżeli, działając analogicznie, podstawię wartość \(\displaystyle{ t}\) do wcześniejszego układu dla \(\displaystyle{ Q(x_{o},y_{o},z_{o})}\)
\(\displaystyle{ -2x+6y-3z-6=0 \\
x= x_{o}+2 \cdot \frac{5}{17} \\
y= y_{o}+3 \cdot \frac{5}{17} \\
z=z_{o}- \frac{5}{17}}\)
to uda mi się wyliczyć współrzędne \(\displaystyle{ Q}\). Tylko teraz mam 3 niewiadome \(\displaystyle{ x_0,y_0}\) i \(\displaystyle{ z_0}\). Czy da się prościej?

Prosiłabym o pomoc

[Kacperdev]

wskazówka: prostą można opisać za pomocą dwóch przecinających się płaszczyzn.

Wystarczy wrzucic je wszystkie do układu równan (wraz z daną płaszczyzną) i rozwiązać.

[karakuku]

równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : -2x+6x-3z-6=0}\).

Wydaje mi się, że :\(\displaystyle{ \pi : -2x+6x-3z+6=0}\)

-- 31 sie 2016, o 17:17 --

// a żeby policzyć kąt to można zrobić rzut prostopadły prostej l na prostą \(\displaystyle{ \pi}\) i puścić prostą k prostopadłą do tego rzutu prostopadłego przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P_l}\) na prostej l i będzie ona przecinała też płaszczyzne \(\displaystyle{ \pi}\) w jakimś punkcie \(\displaystyle{ P_{\pi}}\).

Wtedy szukany kąt to będzie :\(\displaystyle{ \arc \cos \frac{| \vec{P_pP_{\pi}}| }{| \vec{P_pP_{l}}| }}\) gdzie \(\displaystyle{ P_p}\) to punkt przebicia

[winuszka]

Wydaje mi się, że :\(\displaystyle{ \pi : -2x+6x-3z+6=0}\)

Zgadza się, powinien być tam +

Dzięki wielkie za pomoc. Rozwiązałam układ równań płaszczyzny z prostą w postaci krawędziowej. Kącik również już obliczony