Wzajemne położenie prostych.

[blade]

Wyznacz równania parametryczne oraz zbadaj wzajemne położenie prostych:

\(\displaystyle{ l_1: \begin{cases}3x-2y-2z=0 \\ x+y-z=0\end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ l_2: \frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-2}{3}}\)

Najpierw \(\displaystyle{ l_1}\)
Niech : \(\displaystyle{ x=t, t\in \RR}\) wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}3t-2y-2z=0\\t+y-z=0\end{cases}\rightarrow \begin{cases}y=z-t\\3t-2z+2t-2z=0\end{cases}\rightarrow \begin{cases}x=t\\y=z-t\\5t=4z\end{cases}\rightarrow \begin{cases}x=t\\z=\frac{5}{4}t\\y=\frac{1}{4}t\end{cases}\rightarrow l_1:\begin{cases}x=4t\\y=t\\z=5t\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ l_2:\begin{cases}x=s+1\\y=2s-3\\z=3s+2\end{cases}}\)

Niech \(\displaystyle{ u_1,u_2}\) - wektory kierunkowe prostych odpowiednio \(\displaystyle{ l_1, l_2}\).
Wtedy \(\displaystyle{ u_1=[4,1,5] \wedge u_2=[1,2,3]}\).
Sprawdzimy czy proste są równoległe, czyli policzymy ich iloczyn wektorowy, jeżeli będzie równy zero, wówczas oznacza to, że albo jeden z wektorów jest zerowy (nie w tym przypaku) albo wektory wyjściowe są ze sobą liniowo zależne (równoległe).

\(\displaystyle{ u_1 \times u_2 = \left|\begin{matrix}i&j&k\\4&1&5\\1&2&3\end{matrix}\right|=[-7,-7,7]}\)

Zatem nasze proste nie są równoległe.
Może, w takim razie, przecinają się ze sobą?
\(\displaystyle{ \begin{cases}4t=s+1\\t=2s-3\\5t=3s+2\end{cases}\rightarrow \begin{cases}8s-12=s+1\\t=2s-3\\10s-15=3s+2\end{cases}\rightarrow \begin{cases} t=2s-3\\7s=13\\7s=17\end{cases} \rightarrow \begin{cases}t=\frac{5}{7}\\s=\frac{13}{7}\end{cases}\vee\begin{cases}t=\frac{13}{7}\\s=\frac{17}{7}\end{cases}}\)

Teraz, aby się upewnić, czy na pewno się przecinają dla powyższych \(\displaystyle{ t,s}\) musimy podstawić do wyjściowego układu równań.
Podstawiając pierwsze rozwiązanie do trzeciego równania :
\(\displaystyle{ 5\cdot \frac{5}{7}=\frac{25}{7}\neq 3\cdot\frac{13}{7}+2=\frac{53}{7}}\)
Drugie rozwiązanie do pierwszego równania :
\(\displaystyle{ \frac{13}{7} \cdot 4= \frac{52}{7} \neq \frac{17}{7}+1 = \frac{24}{7}}\)

Zatem nie przecinają się - są więc skośne.

Jeśli się przecinają, znajdź ich punkt wspólny.
-Nie przecinają się, ale jeśli przecinały by się to punktem byłoby rozwiązanie równania parametrycznego dla wyliczonego \(\displaystyle{ t}\) lub \(\displaystyle{ s}\) (zależy, do której prostej podstawiamy).
Oblicz kąt i odległość między tymi prostymi.
Proste są skośne, dlatego odległość wyliczymy ze wzoru, do którego potrzebujemy:
\(\displaystyle{ u_1\times u_2=[-7,-7,7]}\)
oraz wektor \(\displaystyle{ P_1P_2}\), dowolnych punktów z prostych, naprzykład.
\(\displaystyle{ P_1=[4,1,5], P_2=[2,-1,5]}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \vec{P_1P_2}=[-2,-2,0]}\)
Zatem \(\displaystyle{ d(l_1,l_2)=\frac{|[-7,-7,7]\circ[-2,-2,0]|}{||[-7,-7,7]||} = \frac{|14+14|}{\sqrt{49+49+49}}=\frac{28}{\sqrt{147}}}\)

Teraz kąt między prostymi.
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie kątem między prostymi \(\displaystyle{ l_1,l_2}\)
Wtedy :

\(\displaystyle{ \alpha=arc \cos \frac{|u_1 \circ u_2|}{||u_1||\cdot||u_2||}=arc \cos \frac{21}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{13}}=arc \cos \frac{21}{\sqrt{533}}}\).

Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania.

[Poszukujaca]

Nie mam zastrzerzeń do Twojego rozwiązania Elegancko.

Na uwagę zasługuje postać krawędziowa prostej czyli Twoja pierwsza postać prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\). Jest to układ równań dwóch płaszczyzn, czyli ta prosta jest przecięciem tych płaszczyzn. Do postaci parametrycznej można przejść też w inny sposób. Obliczamy iloczyn wektorowy wektorów normalnych tych płaszczyzn, czyli \(\displaystyle{ (3,-2,-2) \times (1,1,-1)}\) i w ten sposób otrzymujemy wektor kierunkowy prostej. Potem wystarczy nam znaleźć dowolny punkt prostej przez jakiekolwiek podstawienia do obu równań z postaci krawędziowej i mamy już postać parametryczną naszej prostej.

[blade]

Dzięki za odpowiedź