Przedziały liczbowe

[kompatybilnaa]

Wyznacz współrzędną \(\displaystyle{ c}\) punktu \(\displaystyle{ C}\) należącego do odcinka \(\displaystyle{ AB}\) i spełniającego podany warunek.
a) \(\displaystyle{ A=(-1)}\), \(\displaystyle{ B=(3)}\) i \(\displaystyle{ |AC|=|CB|}\)
b) \(\displaystyle{ A=(\sqrt{2})}\), \(\displaystyle{ B=(-5\sqrt{2})}\) i \(\displaystyle{ |AC|=\frac{2}{3}|AB|}\)
c) \(\displaystyle{ A=(1-\sqrt{3})}\), \(\displaystyle{ B=(-7\sqrt{3})}\) i \(\displaystyle{ |AC|=\frac{2}{3}|CB|}\)

Nie mam pomysłu... Ktoś mógłby wytłumaczyć?

[kerajs]

Niech:\(\displaystyle{ C=(c)}\)
a)
\(\displaystyle{ \left| AC\right|=\left| BC\right|\\
\sqrt{(c-(-1))^2}= \sqrt{(c-3)^2}\\
\left| c+1 \right|=\left| c-3\right|\\
c+1=c-3\left| \right|\vee c+1=-(c-3) \\
1 = -3 \vee c=1}\)
Pierwsze równanie jest sprzeczne czyli :\(\displaystyle{ C=(1)}\)

b)
\(\displaystyle{ |AC|=\frac{2}{3}|AB|\\
\sqrt{(c-\sqrt{2})^2}= \frac{2}{3}\sqrt{(-5\sqrt{2}-\sqrt{2})^2}\\
\left| c-\sqrt{2}\right| = 4\sqrt{2} \\
(c-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \vee -(c-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \\
c=5\sqrt{2} \vee c= -3 \sqrt{2}}\)
Ponieważ C ma leżeć między A i B to
\(\displaystyle{ \sqrt{2}>c>-5\sqrt{2}}\)
a ten warunek spełnia jedynie:
\(\displaystyle{ c= -3 \sqrt{2}}\)

c)
Spróbuj rozwiązać samodzielnie.

[Kartezjusz]

Można też geometrycznie co pokażę na przykładzie pierwszego:

Narysujmy na osi liczbowej odcinek \(\displaystyle{ AB}\) ma on długość \(\displaystyle{ |(-1)-3|=4}\)
Z rysunku widzimy i warunkòw zadania, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2} |AB| = |AC|=2}\)
\(\displaystyle{ A<B}\)czyli \(\displaystyle{ A=-1}\), czyli \(\displaystyle{ C=A+2=1}\)