Ośmiokąt foremny umieszczono...

[Dariasz]

Wiem, że to zadanie prawdopodobnie już ty było, ale chciałbym, żeby ktoś wytłumaczył od a do z i najlepiej wszystkimi możliwymi sposobami rozwiązania tego.Jak i przy wykorzystaniu najcięższych wzorów, jak i najlżejszych.

Ośmiokąt foremny umieszczono w układzie współrzędnych, gdzie środkiem figury jest punkt \(\displaystyle{ (0;0)}\). Na rysunku jest podany punkt \(\displaystyle{ P(1,0)}\), który jest środkiem boku \(\displaystyle{ AH}\).
a) Oblicz długość boku tego ośmiokąta
b) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta \(\displaystyle{ POA}\) oraz kąta \(\displaystyle{ POC}\).

[Premislav]

Narysuj sobie ten ośmiokąt foremny, podziel go na osiem przystających trójkątów równoramiennych sklejonych wierzchołkiem w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i policz kąty. Dorysuj sobie wysokość trójkąta o podstawie \(\displaystyle{ AH}\), opuszczoną na punt \(\displaystyle{ P}\).
No i mogą się przydać wzory na funkcje trygonometryczne kątów połówkowych:
ponieważ \(\displaystyle{ \sin^{2} \alpha= \frac{1-\cos (2\alpha)}{2}}\) oraz
\(\displaystyle{ \cos^{2} \alpha= \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}}\) (wystarczy poprzekształcać wzór na cosinus podwojonego kąta z użyciem jedynki trygonometrycznej, by do tego dojść), to
w zależności od znaku mamy
\(\displaystyle{ \ctg \alpha=+/- \sqrt{ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}=+/- \sqrt{ \frac{1+\cos(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)} }}\)
(oczywiście dla \(\displaystyle{ \alpha \neq k\pi, k \in \ZZ}\))
Stąd i z rysunku np. masz \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}|AH|}{|OP|}=\frac{1}{2}|AH|=\ctg 67,5^{\circ}= - \sqrt{ \frac{1+\cos 135^{\circ}}{1-\cos 135^{\circ}} }}\), mnożysz to stronami przez \(\displaystyle{ 2}\),
obliczasz ze wzorów redukcyjnych, że \(\displaystyle{ \cos 135^{\circ}=-\cos 45^{\circ}=- \frac{\sqrt{2}}{2}}\), wstawiasz i masz podpunkt a).
b) spróbuj zrobić sam. Z rozważań dotyczących a) i proporcji masz już wartości dla \(\displaystyle{ POA}\),
a co do \(\displaystyle{ POC}\), to jest to trójkąt o kącie przy \(\displaystyle{ POC}\) równym \(\displaystyle{ 112,5^{\circ}}\) i boku \(\displaystyle{ PO}\) długości \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ PC}\) długości
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin 67,5^{\circ}}=...}\)
(ale syf).

-- 11 sie 2016, o 01:28 --

Mam wrażenie, że to jest bardzo niesprytne rozwiązanie, ale za bardzo objadłem się szarlotką, którą osobiście przyrządziłem i nie mogę jasno myśleć (tzn. zwykle nie mogę jasno myśleć, bo jestem kretynem z matematyki, ale teraz jeszcze bardziej).

-- 11 sie 2016, o 01:35 --

A może lepiej byłoby na to spojrzeć tak, że łącząc środki boków ośmiokąta danego w treści, dostajemy drugi ośmiokąt foremny, ten też dzielimy na trójkąciki równoramienne o kącie przy \(\displaystyle{ (0,0)}\) równym \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\) i równych bokach po \(\displaystyle{ 1}\), długość podstawy jednego takiego trójkącika obliczamy łatwo z twierdzenia cosinusów i mamy trójkąt równoramienny np.
\(\displaystyle{ PAP_1}\), gdzie \(\displaystyle{ P_1}\) to środek boku \(\displaystyle{ AB}\) ośmiokąta foremnego z treści zadania, o kącie przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) równym oczywiście \(\displaystyle{ 135^{\circ}}\) i podstawie obliczonej uprzednio z tw. cosinusów jako bok tego wpisanego ośmiokąta foremnego.
No i wtedy nie trzeba się bawić w a) kątami połówkowymi.
Tak dawno nie robiłem niczego z geometrii, że na pewno tutaj stworzyłem jakąś herezję typu trójkąt o czterech bokach, ale nie mogę tego dostrzec.

[kerajs]

Inaczej:
a)
\(\displaystyle{ \frac{a}{2}+ \frac{a \sqrt{2} }{2}=1\\
a=2 \sqrt{2}-2}\)
b)
\(\displaystyle{ A=\left( 1, \sqrt{2}-1 \right) \\
B=\left( \sqrt{2}-1 ,1\right)\\
C=\left( 1- \sqrt{2},1 \right)}\)

Kąt można wyznaczyć z iloczynu skalarnego lub, dzięki fortunnemu położeniu punktów P i O, z:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{y}{r}, \ \cos \alpha = \frac{x}{r}, \ \tan\alpha = \frac{y}{x}}\)