Znaleźć wierzchołki trapezu w który można wpisać okrÄ

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
bisz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 572
Rejestracja: 13 paź 2004, o 18:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 27 razy

Znaleźć wierzchołki trapezu w który można wpisać okrÄ

Post autor: bisz »

W trapezie równoramiennym ABCD dane są wierzchołki dłuższej podstawy
A=(1,2)
B=(7,10)
Wyznacz pozostałę wierzchołki trapezu wiedząc że można w niego wpisać okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)

[ Dodano: Nie Lut 20, 2005 4:18 pm ]
próbowałem analitycznie :) mianowicie
pierw rysunek dla obeznania co gdzie ma być noi wychodzi średnica okręgu = 5
kreslac sobie symetralną od podstawy o dlugosci 5 i obliczajac wspolrzedne jej srodka mamy
\(\displaystyle{ x_{0}=\frac{|4-0|}{2}}\)
\(\displaystyle{ y_{0}=\frac{|9-6|}{2}}\)
dalej szukamy pierwszej prostej stycznej do tego okregu ktora bedzie zawierała ramię trapezu
prosta ma postać
\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
punkt P=(1,2) nalezy do naszej szukanej prostej wiec robimy układ równań:

\(\displaystyle{ 2=a+b}\)
drugie równanie będzie podstawienie postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\) do równania okręgu ktory jest wpisany w nasz trapez a oto ono:

\(\displaystyle{ (x-2)^{2}+(y-\frac{15}{2})^{2}=\frac{25}{4}}\)
podstawiamy y = ax+b do powyższego i po eleganckim przegrupowaniu otrzymuje równanie kwadratowe o postaci poniższej:
\(\displaystyle{ (1-a^{2})x^{2}-(2+2ab-15a)x+4-b^{2}-15b-\frac{250}{4}}\)
przyrównując wyróżnik do zera mam w skrócie:
\(\displaystyle{ (2+2ab-15a)^{2}-4(1-a^{2})(4-b^{2}-15b-\frac{250}{4})=0}\)
darując sobie oczywiscie liczenie tego na piechote wstukalem te zawiłe postacie do matlaba



>> b=solve((2+2*a*b-15*a)^2-4*(1-a^2)*(4-b^2-15*b-(250/4)))

\(\displaystyle{ b= -a+15a^{2}-\frac{19}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-887a^{2}-120a^{3}+120a+900a^{4}-13}}\)
\(\displaystyle{ b=-a+15a^{2}-\frac{19}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{-887a^{2}-120a^{3}+120a+900a^{4}-13}}\)


i potem podstawiając za a = b-2 dalem do rozwiazania (nie ma po co przepisywac) otrzymuje brak rozwiazania :/, blad w rozumowaniu czy w obliczeniach ?
Yavien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 800
Rejestracja: 21 cze 2004, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W-U

Znaleźć wierzchołki trapezu w który można wpisać okrÄ

Post autor: Yavien »

bledu w rozumowaniu nie widze, probowalam inna droga, tez wychodza koszmarki
Ale, po pierwsze sa dwa okregi, srodek jednego ma wspolrzedne \(\displaystyle{ O_1=(6,\frac{9}{2})}\) drugiego \(\displaystyle{ O_2= (2,\frac{15}{2})}\)
Srodek odcinka AB \(\displaystyle{ M=(4,6)}\)
I odpowiedzi tez sa dwie:
\(\displaystyle{ C=(8\frac{3}{4},4) \text{ i }D=(7\frac{1}{4},2)}\) lub \(\displaystyle{ C=(\frac{3}{4},10) \text{ i }D=(-\frac{3}{4},8)}\)
Tyle z konstrukcji wyszlo. Liczby w miare ladne, wiec i rownania powinny wyjsc przyzwoite.

Probujac liczyc punkt stycznosci (rownanie stycznej) mozna uzyc jeszcze znanej odleglosci od niego P-punkt stycznosci, PA=5, PO = 5/2 Moze ta droga?
ODPOWIEDZ