Względne położenie punktów prostych i płaszczyzn

[max123321]

Płaszczyzna \(\displaystyle{ S}\) zawiera dwa punkty \(\displaystyle{ A\left( 1,-1,1\right) ,B\left( 2,1,2\right)}\) oraz prostą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ A}\) o wektorze kierunkowym \(\displaystyle{ v ^{T}=\left[ 1,0,2\right]}\). Prosta \(\displaystyle{ L}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ C\left( 2,0,1\right),D\left( 3,3,5\right)}\).
c)Określić czy prosta \(\displaystyle{ L}\) jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ S}\) czy ją przecina.
d)Wyznaczyć równanie normalne płaszczyzny \(\displaystyle{ S _{1}}\) prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ L}\) i przechodzącej przez \(\displaystyle{ A}\).

Głównie chodzi mi o podpunkt c). W d) to chyba wektorem normalnym płaszczyzny będzie wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ L}\) i trzeba potem jeszcze podstawić współrzędne punktu \(\displaystyle{ A}\). Z tego mi wyszła płaszczyzna \(\displaystyle{ x+3y+4z-2=0}\). Dobrze? A jak punkt c)?

[AloneAngel]

Wektor \(\displaystyle{ v^{T}}\) oraz wektor wyznaczony przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) rozpinają Twoją płaszczyznę. Musisz sprawdzić czy wektor kierunkowy Twojej prostej \(\displaystyle{ L}\) jest kombinacją liniową wektorów na których rozpięta jest płaszczyzna (wystarczy policzyć np. rząd odpowiedniej macierzy). Jeżeli tak - to prosta jest równoległa do płaszczyzny. Jeżeli nie to musi ją przecinać.

Podpunkt d) jest okej.

[max123321]

A nie wystarczyłoby rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \alpha\left[ \begin{array}{c}1\\2\\1\\\end{array}\right]+\beta\left[ \begin{array}{c}1\\0\\2\\\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}1\\3\\4\\\end{array}\right]}\)
??

[AloneAngel]

No możesz też w ten sposób policzyć, ale to jest dłuższa metoda. Mógłbyś policzyć po prostu rząd macierzy utworzonej z tych wektorów - jeżeli wyjdzie równy 2, to prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeżeli wyjdzie równy 3 to znaczy, że ją przecina.

[a4karo]

Możesz też policzyć odległości obu punktów od plaszczyzny.-- 21 lip 2016, o 02:19 --Albo sprawdź, czy wektor \(\displaystyle{ CD}\)jest prostopadły do wektora normalnego.

[max123321]

czyli rząd tej macierzy:

\(\displaystyle{ rz\left[ \begin{array}{ccc}1&1&1\\2&0&3\\1&2&4\\\end{array}\right]}\) ?? Jest równy 3 zatem się przecinają?

A jeśli byśmy chcieli znaleźć punkt przecięcia? 3 punkty powinny nam jednoznacznie określać płaszczyznę, ale we wzorze na płaszczyznę są 4 niewiadome, jak sobie zatem z tym poradzić?
Bo jeśli byśmy znali równanie płaszyzny to można by podstawić równanie paramtryczne prostej do płaszczyzny i obliczyć punkt przecięcia.

A jak obliczyć odległość punktu od płaszczyzny?

A tą prostopadłość wektorów CD i normalnego to chyba z iloczynu skalarnego da się policzyć?

[AloneAngel]

Tak, ponieważ rząd wyszedł 3 zatem płaszczyzna z prostą się przecinają.

3 punkty z Twojej płaszczyzny wyznaczają dwa wektory na których jest ona rozpięta. Wyliczając ich iloczyn wektorowy dostaniesz wektor prostopadły do nich, czyli wektor normalny płaszczyzny (zatem bedziesz miał współczynniki \(\displaystyle{ A,B,C}\) ze wzoru \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\)). Współczynnik \(\displaystyle{ D}\) znajdziesz wstawiając do swojego równania jeden z tych punktów.

Jeżeli chodzi o punkt przecięcia to jest kilka sposobów w zależności od tego w jakiej postaci zapiszesz sobie tę płaszczyznę i prostą (możesz podzielić się rachunkami).

Odległość punktu \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) liczy się ze wzoru \(\displaystyle{ d = \frac{|A\cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}\).

Dwa wektory są prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny wynosi 0.

[max123321]

A jeśli tą macierz byśmy ustawiali poziomo? W sensie wektory byłyby zapisywane poziomo.

\(\displaystyle{ rz\left[ \begin{array}{ccc}1&2&1\\1&0&2\\1&3&4\\\end{array}\right]}\)

? To rząd też normalnie wtedy?

[AloneAngel]

Tak, rząd tak czy siak nam się nie zmieni bo \(\displaystyle{ rz A = rz A^T}\).