Położenie punktów i prostych

[max123321]

Podane są współrzędne czterech punktów: \(\displaystyle{ A\left( -1,2\right),B\left( 1,-1\right),C\left( 3,3\right),D\left( 4,4\right)}\)
Ustalić czy punkty \(\displaystyle{ B,D}\) leżą po tej samej stronie prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A,C}\)

Zadanie ma NIE być robione "szkolnymi metodami". Chyba jakieś wyznaczniki tu wchodzą w grę i pola zorientowane trójkątów?

[a4karo]

Najprościej narysować W szkole takich prostych rzeczy nie uczą, więc warunek będzie spełniony

[max123321]

A nie liczy się tu jakiś wyznaczników?

[a4karo]

Można. Wzorek znajdziesz na wikipedii. Jak pominiesz zewnętrzną wartość bezwzgledną, to przeciwne znaki będą świadczyły o tym, że punkty sa po przeciwnych stronach prostej

-- 19 lip 2016, o 08:46 --

Możesz również napisać równanie prostej \(\displaystyle{ AC}\) w postaci \(\displaystyle{ px+qy+r=0}\) i obliczyc wartość lewej strony dla punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\). Jeżeli będą miały różne znaki, to punkty leżą po przeciwnych stronach.-- 19 lip 2016, o 08:57 --Możesz znaleźć przekształcenie afiniczne, które przeprowadza punkt \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ (0,0)}\) a punkt \(\displaystyle{ C}\) na \(\displaystyle{ (0,1)}\) i sprawdzić znak pierwszej współrzędnej obrazu punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\).

Możesz policzyć iloczyny wektorowe \(\displaystyle{ AC\times AB}\) i \(\displaystyle{ AC\times AD}\).Jeżeli będa miały różne zwroty (czytaj różne znaki trzeciej współrzędnej) to punkty leżą po przeciwnych stronach (sprowadza sie to do liczenia takich samych wyznaczników jak w pierwszym sposobie)

[kerajs]

Szkolne, ale rzadko stosowane.
Wektor kierunkowy prostej to \(\displaystyle{ \left[ 1, a\right]}\) , gdzie a to współczynnik kierunkowy prostej.
\(\displaystyle{ \vec{k _{AB} }=\left[ 1; \frac{-1-2}{1+1} \right]=\left[ 1; \frac{-3}{2} \right] \\
\vec{k _{AC} }=\left[ 1; \frac{3-2}{3+1} \right]=\left[ 1; \frac{1}{4} \right] \\
\vec{k _{AD} }=\left[ 1; \frac{4-2}{4+1} \right]=\left[ 1; \frac{2}{5} \right]}\)
Pozostaje Ci wyciągnąć odpowiedni wniosek.

[a4karo]

Szkolne, ale rzadko stosowane.
Wektor kierunkowy prostej to \(\displaystyle{ \left[ 1, a\right]}\) , gdzie a to współczynnik kierunkowy prostej.
\(\displaystyle{ \vec{k _{AB} }=\left[ 1; \frac{-1-2}{1+1} \right]=\left[ 1; \frac{-3}{2} \right] \\
\vec{k _{AC} }=\left[ 1; \frac{3-2}{3+1} \right]=\left[ 1; \frac{1}{4} \right] \\
\vec{k _{AD} }=\left[ 1; \frac{4-2}{4+1} \right]=\left[ 1; \frac{2}{5} \right]}\)
Pozostaje Ci wyciągnąć odpowiedni wniosek.

Ten sposób nie zawsze działa: \(\displaystyle{ A=(0,0), C=(5,0), B=(3,1), D=(-5,-1)}\)

[kerajs]

Przecież działa dla : \(\displaystyle{ A=(0,0), C=(5,0), B=(3,1), D=(-5,-1)}\)
\(\displaystyle{ \vec{k _{CB} }=\left[ 1; \frac{-1}{2} \right] \\
\vec{k _{CA} }=\left[ 1;0 \right] \\
\vec{k _{CD} }=\left[ 1; \frac{1}{10} \right]}\)

Ale tak ogólnie to czasem nie działa, ergo: znów pobłądziłem.

[max123321]

Znalazłem wzór na pole trójkąta taki, że:

\(\displaystyle{ S _{ACB}= \frac{1}{2}\left| \begin{array}{ccc} -1&2&1\\3&3&1\\1&-1&1\end{array}\right|=-7}\)
i
\(\displaystyle{ S _{ACD}= \frac{1}{2}\left| \begin{array}{ccc} -1&2&1\\3&3&1\\4&4&1\end{array}\right|= \frac{3}{2}}\)

Są przeciwnych znaków, zatem leżą po przeciwnej. Dobrze to jest zrobione?

[a4karo]

O ile dobrze policzyłes wyznaczniki, to tak.
Sprawdziłes inne metody?

[max123321]

Druga Twoja metoda jest w zasadzie szkolna więc nie ruszałem, a tej z przekształceniem afinicznym nie rozumiem na czym polega, a czwarta jest chyba podobna do pierwszej tylko nie rozumiem dlaczego będą miały różne znaki trzeciej współrzędnej wtedy? A poza tym iloczyn wektorowy robi się w przestrzeni 3D więc jak uzupełnić te wektorki 2D do 3D?

[a4karo]

A jaki będzie najbardziej naturalny sposób zrobienia 3D?

Przy przekształceniu afinicznym po prostu sprawdzisz znak pierwszej współrzędnej obrazu (bo AC przejdzie na os OY)

[max123321]

Nie wiem, dodanie na trzeciej współrzędnej zera?

[a4karo]

Jasne