Minima i maksima odległości od rozmaitości

[Majeskas]

Na płaszczyźnie mamy pewną elipsę i punkt \(\displaystyle{ P}\), leżący poza tą elipsą. Wówczas na tej elipsie istnieje zarówno punkt leżący najbliżej \(\displaystyle{ P}\) (nazwijmy go \(\displaystyle{ S}\)), jak i najdalej (\(\displaystyle{ T}\)). To wynika z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym.
Prawdą jest, że wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{PS}}\) jest prostopadły do stycznej do elipsy w punkcie \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{PT}}\) jest prostopadły do stycznej do elipsy w punkcie \(\displaystyle{ T}\).
To wynika z twierdzenia o ekstremach związanych, natomiast moje pytanie brzmi, czy da się to uzasadnić geometrycznie, bez tak mocnych narzędzi analitycznych. Twierdzenie o ekstremach związanych pozwala uzyskać znacznie więcej: w miejscu elipsy można wziąć dowolną zwartą rozmaitość zanurzoną w \(\displaystyle{ \RR^n}\), a zamiast stycznej mówić o przestrzeni stycznej do rozmaitości.

Zastanawiam się, czy można uzyskać podobny rezultat drogą czysto geometryczną, i nawet na tak prostych przykładach nie wiem, jak do tego podejść. Zwłaszcza że są to stwierdzenia bardzo intuicyjne.

Inny przykład pytania: rozważmy hiperbolę i prostą nieprzecinającą tę hiperbolę. Niech \(\displaystyle{ PQ}\) będzie najkrótszym odcinkiem łączącym prostą z hiperbolą, gdzie \(\displaystyle{ P}\) leży na hiperboli, \(\displaystyle{ Q}\) na prostej. Uzasadnić geometrycznie, że styczna do hiperboli poprowadzona w \(\displaystyle{ P}\) jest równoległa do rozważanej prostej.

[Santiago A]

Spróbowałbym rozumować tak jak w dowodzie twierdzenia Hilberta o najlepszej aproksymacji.

[Majeskas]

Czy mógłbym prosić o więcej szczegółów lub odesłanie do jakiegoś źródła? Nie znam tego twierdzenia.

[Santiago A]

Twierdzenie to orzeka, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x}\) przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ H}\) i niepustego, domkniętego, wypukłego zbioru \(\displaystyle{ C \subseteq H}\) istnieje dokładnie jeden punkt \(\displaystyle{ y \in C}\), taki że wielkość \(\displaystyle{ \|x-y\|}\) jest minimalna. Jeżeli pracujemy z domkniętą podprzestrzenią, równoważnym (minimalności) warunkiem jest prostopadłość wektora \(\displaystyle{ x - y}\) do \(\displaystyle{ C}\).

[Majeskas]

Gdzie mogę znaleźć dowód?

[Santiago A]

W dowolnym porządnym podręczniku do analizy (funkcjonalnej), a nawet na angielskiej wikipedii: ... on_theorem.

[Majeskas]

Nie robiłem jeszcze analizy funkcjonalnej. Dzięki.

[a4karo]

Przypuśćmy, że w punkcie \(\displaystyle{ S}\) elipsy funkcja \(\displaystyle{ d(P,S)}\) ma minimum. Narysuj sobie okrąg o środku \(\displaystyle{ P}\) i promieniu \(\displaystyle{ d(S,P)}\). łatwo przekonasz się, że jeżeli styczna do elipsy nie jest prostopadła do promienia, to styczna ta przetnie okrąg. Wraz z nią przetnie okrąg również sama elipsa, a to znaczy, że na elipsie znajdą się punkty bliższe niż \(\displaystyle{ S}\).

To ma zastosowanie do każdej gładkiej krzywej, niekoniecznie elipsy.

[Majeskas]

Wszystko zgoda, tylko jak ściśle uzasadnić moment

Wraz z nią przetnie okrąg również sama elipsa

i jak to uogólnić dla krzywej gładkiej? Rozumiem, że sedno tkwi w tym, że dzięki gładkości krzywa znajduje się (przynajmniej lokalnie) "po jednej stronie stycznej, i to nie po tej stronie, po której leży \(\displaystyle{ P}\)". Chciałbym to jednak uściślić.