Powierzchnia trójkąta

[max123321]

Dana jest prosta \(\displaystyle{ L}\) przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ A\left( 2,1,1\right),B\left( 3,1,-1\right)}\) oraz punkt \(\displaystyle{ O\left( 0,0,0\right)}\).
a)Obliczyć pole trójkąta \(\displaystyle{ OAB}\) w oparciu pierwiastek z wyznacznika macierzy Grama wektorów.
b) Wyznaczyć wektor kierunkowy \(\displaystyle{ v}\) oraz wektory normalne \(\displaystyle{ u,w}\) prostej \(\displaystyle{ L}\).

[AloneAngel]

a) Musisz utworzyć macierz Grama, do której stworzenia będziesz używał dwóch wektorów, na których rozpięty jest trójkąt. Następnie liczysz jej wyznacznik, bierzesz moduł tego wyznacznika, liczysz jego pierwiastek i dzielisz przez \(\displaystyle{ 2}\) - w ten sposób otrzymasz pole trójkąta.

b) Wektor kierunkowy to wektor wyznaczony przez wektor wyznaczony przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Wektory normalne to wektory prostopadłe do tego wektora. Zauważ, że leżą one na płaszczyźnie prostopadłej do tej prostej.

[max123321]

Z tego co czytam na wikipedii to ta macierz jest kwadratowa więc potrzebuje jeszcze chyba trzeciego wektora, żeby było 3x3, albo czym ją uzupełnić?

[max123321]

A możesz pokazać jak się tworzy tą macierz Grama, bo nie bardzo rozumiem ten sposób z Wikipedii?

[AloneAngel]

Trójkąt ten rozpięty jest na dwóch wektorach \(\displaystyle{ v_1 = [2,1,1], \ v_2 = [3,1,-1]}\).
Tworzymy zatem macierz 2 x 2 takiej postaci

\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
\left\langle v_1, v_1\right\rangle & \left\langle v_1, v_2\right\rangle \\
\left\langle v_2, v_1\right\rangle & \left\langle v_2, v_2\right\rangle
\end{array}
\right]
\qquad}\),

gdzie \(\displaystyle{ \left\langle \right\rangle}\) - iloczyn skalarny.
To jest Twoja macierz Grama. Następnie to co opisałem wcześniej.

[max123321]

Ok to rozumiem jak zrobić podpunkt a). A w b) wiem jak wyznaczyć wektor kierunkowy. A jak wyznaczyć wektory normalne? Będzie ich chyba nieskończenie wiele?

[AloneAngel]

Wektorów prostopadłych do tej prostej będzie nieskończenie wiele. Mając jej wektor kierunkowy możesz jeden wektor do niej prostopadły znaleźć poprzez zadanie takiego wektora aby ich iloczyn skalarny dawał zero. Z kolei drugi znajdziesz jako iloczyn wektorowy wektora kierunkowego i tego co znalazłeś przed chwilą. Wtedy poszukiwane wektory są z przestrzeni rozpiętej na tych dwóch wektorach (czyli są równoległe do tej płaszczyzny).

[max123321]

Ale to nie szukamy wzoru na ogólny wektor równoległy? Czy wybieramy po prostu dwa? A ten wektor, który ma dawać iloczynie skalarnym zero, to jak znaleźć? Tam było coś takiego, że dwie współrzędne się zamieniało, jedna z przeciwnym znakiem czy jakoś tak?

[AloneAngel]

Jeżeli masz prostą, to wszystkie wektory prostopadłe do niej leża na płaszczyźnie prostopadłej do tej prostej, to jest jasne? A więc wyznaczając rozpięcie liniowe tej płaszczyzny wyznaczymy przestrzeń wszystkich wektorów prostopadłych do naszej prostej. U mnie zazwyczaj podawało się te dwa bazowe. Jeżeli masz np. wektor \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) no to najłatwiej wziąć wektor \(\displaystyle{ [B, -A, 0]}\) - wtedy ich iloczyn skalarny daje \(\displaystyle{ 0}\).