Kierunek i zwrot pochodnej wektora

[ProCiewbor]

Mam do Was dwa pytania, mam nadzieję, że mi pomożecie

1) Jaki kierunek i zwrot ma pochodna wektora?

Z jednej strony na YouTube znalazłem filmik Politechniki Wrocławskiej, z którego wynika, że jest ona zawsze prostopadła, ale z drugiej
\(\displaystyle{ \vec{a} = f(x) \\
\frac{d \vec{a} }{dx} = \frac{d}{dx} ( \vec{a}_{0} a ) = \frac{d \vec{a}_{0} }{dx}a + \frac{da}{dx} \vec{a} _{0}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \vec{a} _{0}}\) - wektor jednostkowy
\(\displaystyle{ a}\) - wartość wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\)

W związku z czym pochodna wektora powinna być wektorem wypadkowym powstającym po zsumowaniu - czyli coś jest nie tak

2)
W związku z powyższym wzorem, jak się mają do siebie \(\displaystyle{ \frac{d \vec{a}_{0} }{dx}a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{da}{dx} \vec{a} _{0}}\)?
Wiem, że powinny być prostopadłe ale ani trochę nie rozumiem czemu

Będę bardzo wdzięczny za każdą pomoc, podpowiedź czy choćby wskazanie kierunku, bo czuję się jak dziecko we mgle

[SlotaWoj]

1. Pochodna wektora jest wektorem, który może mieć dowolny kierunek i zwrot. Jest ona prostopadła do wektora tylko wówczas, gdy ten nie zmienia swojej długości, ale jedynie np. obraca się względem swojego puntu zaczepienia.
2. \(\displaystyle{ \frac{d\vec{a}_0 }{dx}a}\) to „składowa kierunkowa”, a \(\displaystyle{ \frac{da}{dx}\vec{a}_0}\) to „składowa długościowa” wektora pochodnej. Definiują one boki prostokąta, którego przekątną jest \(\displaystyle{ \frac{d\vec{a}}{dx}}\) .

[ProCiewbor]

1. Czyli te wzorki które napisałem i wniosek z nich są poprawne? Zwrot i kierunek jest determinowany przez wektor
\(\displaystyle{ \vec{b} =\frac{d \vec{a}_{0} }{dx}a + \frac{da}{dx} \vec{a} _{0}}\)?

2. Rozumiem, że \(\displaystyle{ \frac{da}{dx}\vec{a}_0}\) to składowa długościowa, ale skąd wiem, że składowa\(\displaystyle{ \frac{d\vec{a}_0 }{dx}a}\) jest to niej prostopadła?

W "Mechanice teoretycznej" Rubinowicza i Królikowskiego jest to wykazane tak:
\(\displaystyle{ \vec{a} _{0} \frac{d\vec{a}_{0}}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d(\vec{a}_{0})^2}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}= 0}\)
Ale nic a nic nie rozumiem z tego dowodu -- 1 lip 2016, o 07:45 --Ad. 2. Jedyne wyjaśnienie jakie przychodzi mi do głowy to takie, że wektor jednostkowy nigdy nie zmienia swej długości, a więc może jedynie obracać się - wtedy jego pochodna jest prostopadła do niego, czyli zarazem do składowej \(\displaystyle{ \frac{da}{dx}\vec{a}_0}\)

Czy takie wyjaśnienie jest poprawne? Nawet jeśli tak, byłbym bardzo wdzięczny za wyjaśnienie mi wzorku z Rubinowicza i Królikowskiego