Dowód wzoru

[Armyx]

Przyszło mi po długiej przerwie wrócić do geometrii i mam problem z takim zadaniem :

Mam odcinek \(\displaystyle{ AB}\) taki, że \(\displaystyle{ A = (x_1,y_1)}\) oraz \(\displaystyle{ B = (x_2,y_2)}\) . Mam także punkt \(\displaystyle{ Q = (x_3,y_3)}\)

Wiadomo, że zachodzi taki wzór
\(\displaystyle{ P = A + t \cdot (B-A)}\)

gdzie \(\displaystyle{ P}\) to rzut punktu \(\displaystyle{ Q}\) na prostą, a \(\displaystyle{ t}\) to jakiś skalar.

Teraz widziałem taki wzór i nie wiem jak go udowodnić

\(\displaystyle{ t = \frac{(Q-A) \circ (B-A)}{ \parallel B-A \parallel ^2}}\)

Próbowałem w taki sposób, ale wychodzą mi straszne głupoty

\(\displaystyle{ (Q-P) \circ (B-A) = 0}\) Z definicji tego ze maja byc prostopadle

\(\displaystyle{ QB - QA - PB + PA = 0}\)

\(\displaystyle{ Q = P}\) ???




Moje drugie podejście jest bliższe, ale zapis niepoprawny ( tak mi się wydaje )

\(\displaystyle{ (B-A) \circ (Q- (A+tW)}\) gdzie \(\displaystyle{ W = B-A}\)

\(\displaystyle{ BQ - BA - BtW -AQ + A^2 + AtW = 0}\)

\(\displaystyle{ t = \frac{A^2+BQ-BA-AQ}{(A-B)^2}}\)

co już wygląda jak to co miałem udowodnić poza tym, że nie mam normy wektora w mianowniku


Co jest źle w obu podejsciach ?

[octahedron]

\(\displaystyle{ (Q-P)\circ(B-A)=0\\
(Q-A-t\cdot(B-A))\circ(B-A)=0\\
(Q-A)\circ(B-A)-t\cdot(B-A)\circ(B-A)=0\\
t=\frac{(Q-A)\circ(B-A)}{(B-A)\circ(B-A)}=\frac{(Q-A)\circ(B-A)}{\| B-A\|^2}}\)