symetrie względem prostych

[ddagaa]

Na płaszczyźnie dane są proste \(\displaystyle{ k \colon 3x+4y+1=0}\) i \(\displaystyle{ m \colon 4x-3y-7=0}\). Obliczyć współrzędne punktu \(\displaystyle{ P=S_k (S_m (0,2))}\), gdzie \(\displaystyle{ S_k}\) i \(\displaystyle{ S_m}\) oznaczają symetrie względem prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m}\).

Wzięłam się za rozwiązywanie tego, ale wyszły mi dziwne wyniki i zaczęłam się zastanawiać czy to w ogóle jest dobrze Przedstawię moje rozwiązanie przy symetrii względem k, gdyż potem jest analogicznie.

\(\displaystyle{ k \colon 3x+4y+1=0}\)
\(\displaystyle{ y= - \frac{3}{4}x -\frac{1}{4}}\)

prosta prostopadła:
\(\displaystyle{ -\frac{3}{4} a=-1}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{4}{3} x+b}\)
\(\displaystyle{ 2=0+b \Rightarrow b=2}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{4}{3} x +2}\)

punkt wspólny prostych:
\(\displaystyle{ \frac{4}{3} x+2=-\frac{3}{4} x -\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ 16x+24=-9x-3}\)
\(\displaystyle{ 25x=-27}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac{27}{25}}\)
\(\displaystyle{ y=-\frac{3}{4}(\frac{27}{25})-\frac{1}{4}=\frac{56}{100}}\)
\(\displaystyle{ P(-\frac{27}{25},\frac{56}{100})}\)

\(\displaystyle{ S(0,2)}\)
\(\displaystyle{ S'(x,y)}\)
\(\displaystyle{ \vec{SP}=\vec{PS'}}\)
\(\displaystyle{ \vec{SP}=[-\frac{27}{25},-\frac{144}{100}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{PS'}=[x+\frac{27}{25},y-\frac{56}{100}]}\)
\(\displaystyle{ -\frac{27}{25}=x+\frac{27}{25} \Rightarrow x=-\frac{54}{25}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{144}{100}=y-\frac{56}{100} \Rightarrow y=-\frac{88}{100}}\)

\(\displaystyle{ S'=(-\frac{54}{25},-\frac{88}{100})}\)

[kerajs]

Uwagi.
1. Punkt P występuje już w treści zadania i takie oznaczenie nie powinno być używane dla innego punktu.
2. Wyrażenie \(\displaystyle{ P=S_k(S_m(0,2))}\) rozumiem tak:
Istnieje punkt Q który jest obrazem punktu (0,2) w symetrii osiowej względem prostej m. Obrazem uzyskanego punktu Q w symetrii osiowej względem prostej k jest punkt P. Czyli powinnaś przekształcać wpierw względem prostej m, a nie prostej k.
3. Samo szukanie obrazu punktu w symetrii osiowej robisz prawidłowo.

Ps. Tylko gdy osie symetrii są prostopadłe to kolejność wykonywania symetrii osiowych nie ma znaczenia, i jest równoważna symetrii środkowej względem punktu przecięcia osi symetrii. A tu proste m i k są prostopadłe.

[ddagaa]

1. Punkt P występuje już w treści zadania i takie oznaczenie nie powinno być używane dla innego punktu.
2. Wyrażenie \(\displaystyle{ P=S_k(S_m(0,2))}\) rozumiem tak:
Istnieje punkt Q który jest obrazem punktu (0,2) w symetrii osiowej względem prostej m. Obrazem uzyskanego punktu Q w symetrii osiowej względem prostej k jest punkt P. Czyli powinnaś przekształcać wpierw względem prostej m, a nie prostej k.

Faktycznie, teraz widzę te błędy. Poprawię i przejdę dalej, dziękuję