równania płaszczyzny, prostej, miara kąta, objętość

[blade]

\(\displaystyle{ A=(2,-1,1), B=(3,-3,3),C=(1,3,-2)\in \RR^3}\)

a) równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) zawierającej \(\displaystyle{ A,B,C}\)

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=[1,-2,2]}\) oraz \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}=[-1,4,-3]}\)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-2&2\\-1&4&-3\end{array}\right| = [-2,1,2]}\)

\(\displaystyle{ \pi : -2(x-2)+(y+1)+2(z-1)=0 \\ \underline{\pi: -2x+y+2z+3=0}}\)

b) Wyznacz równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez \(\displaystyle{ A,D}\) gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest dowolnym punktem oddalonym o \(\displaystyle{ 3}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) oraz będącym rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ \pi}\):

prosta zawierająca punkty \(\displaystyle{ A, D}\) :
\(\displaystyle{ l: \begin{cases}2+at\\-1+bt\\1+ct\end{cases}}\)

prosta, która jest prostopadła do powyższej prostej, czyli taka, która zawiera punkt \(\displaystyle{ B}\), czyli również prostopadła do \(\displaystyle{ \pi}\):

\(\displaystyle{ k: \begin{cases}3-2k\\-3+k\\3+2k\end{cases}}\)

odległość \(\displaystyle{ d(D,\pi)}\) ma być równa \(\displaystyle{ 3}\):

\(\displaystyle{ d(D,\pi)=\frac{|-2x_D + y_D + 2z_D + 3|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2}}=3}\)

\(\displaystyle{ x_D, y_D, z_D}\) zawierają się w równaniu prostej \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ d(D,\pi)=|-2(3-2k)-3+k+2(3+2k)+3| = 9 \\ \\ |9k|=9 \rightarrow k=1 \ {\rm lub} \ k=-1}\)

wybieram \(\displaystyle{ k=1}\):
\(\displaystyle{ D=(1,-2,5)}\)

Teraz musimy wyznaczyć równanie parametryczne prostej: \(\displaystyle{ \overrightarrow{AD}=[-1,-1,4]}\),
a więc:

\(\displaystyle{ l:\begin{cases}x=2-t\\y=-1-t\\z=1+4t\end{cases}}\)

c) Wyznacz miarę kąta między \(\displaystyle{ l, \pi}\):

\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{u \circ v}{||u||||v||}}\)
gdzie \(\displaystyle{ u, v}\) to odpowiednio wektory kierunkowe prostej i płaszczyzny \(\displaystyle{ l, \pi}\)

\(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{[-1,-1,4] \circ [-2,1,2]}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{9}} = \frac{9}{9\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \underline{\varphi = \frac{\pi}{4}}}\)

d) Wyznacz objętość czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\):

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{6} \cdot |\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}| = \frac{1}{6} \left| \det \left[\begin{array}{ccc}1&-2&2\\-1&4&-3\\-1&-1&4\end{array} \right]\right|=\frac{3}{2}}\)

Proszę o sprawdzenie.

[adxasx1]

Mi tak samo wyszło, myślę też że znajdzie się kilka osób którzy będą spekulować inaczej na ten temat.