Punkty przecięcia okręgu z innym okręgiem leżące na prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Andrea
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 14 cze 2011, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy

Punkty przecięcia okręgu z innym okręgiem leżące na prostej

Post autor: Andrea »

1. Przez punkty \(\displaystyle{ A=(-4,-1)}\) i \(\displaystyle{ B=(4,5)}\) poprowadź taki okrąg, żeby jego punkty przecięcia z okręgiem \(\displaystyle{ (x+3)^2+y^2=9}\) leżały na prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ M=(-3,0)}\).

Środek tego okręgu \(\displaystyle{ S=(x,y)}\) jest równo odległy od punktów A i B, więc powstaje taki warunek:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+4)^2 + (y+1)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + (y-5)^2} \ \ \ \ ( = r)}\)

Mogę też skonstruować warunek z twierdzenia Pitagorasa, gdzie odległość między środkami obu okręgów to suma kwadratów promieni:
\(\displaystyle{ (x+3)^2 + y^2 = r^2+9}\)


Tu nie wiem totalnie co dalej, nie mam dobrego pomysłu, który prowadziłby do odpowiedzi. Odpowiedź to: \(\displaystyle{ x^2+y^2-9x+8y-45=0}\)



2. Znaleźć równanie okręgu, który przecina pod kątem prostym trzy okręgi:

\(\displaystyle{ x^2+y^2+x+2y=0, \ \ \ x^2+y^2-2x+2y-9=0, \ \ \ x^2+y^2+3x+y-1=0}\)

Po przekształceniu: \(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{2})^2 + (y+1)^2 = \frac{5}{4}, \ \ \ (x-1)^2+(y+1)^2 = 11, \ \ \ (x+ \frac{3}{2})^2 + (y+ \frac{1}{2})^2 = \frac{7}{2}}\)

\(\displaystyle{ S_4 = (s,t)}\)

Ta sama taktyka jak wyżej. Odległości środków:

\(\displaystyle{ \begin{cases} (s+ \frac{1}{2})^2 + (t+1)^2= (\frac{5}{4})^2 +R^2 \\ (s-1)^2+(t+1)^2 = 11+R^2 \end{cases}}\)

Odejmując jedno od drugiego wychodzi \(\displaystyle{ s=- \frac{139}{48}}\) I tu już pojawia się problem, bo odpowiedź to: \(\displaystyle{ (x+3)^2+(x+7)^2-41=0}\).

Proszę o jakieś wskazówki, bo z tymi dwoma zadaniami idzie mi wyjątkowo ciężko..
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Punkty przecięcia okręgu z innym okręgiem leżące na prostej

Post autor: piasek101 »

I)
1) Powinieneś znać prostą na jakiej leży środek szukanego.
Zatem sam środek ma jedną niewiadomą.

2) Skoro prosta na jakiej leżą punkty przecięcia przechodzi przez środek danego, to szukane punkty leżą po obu ,,stronach" środka - dwie nieznane współrzędne.

3) Odległość punktów z 3 to 6; a środek szukanego ma być w jednakowej odległości od punktów przecięcia.
Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 704
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 94 razy

Punkty przecięcia okręgu z innym okręgiem leżące na prostej

Post autor: kinia7 »

Środek szukanego okręgu \(\displaystyle{ S=(s,t)}\), promień \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ r^2=AS^2=(s+4)^2 + (t+1)^2}\)
\(\displaystyle{ r^2 =BS^2= (s-4)^2 + (t-5)^2}\)
po rozwinięciu kwadratów i odjęciu stronami otrzymam równanie symetralnej odcinka AB, do której muszą należeć wszystkie środki okręgów zawierających punkty A i B
\(\displaystyle{ t=2-\frac43s}\)
podstawiając do jednego z równań otrzymam \(\displaystyle{ r^2=\frac{25}{9}s^2+25}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x-s)^2+(y-t)^2=r^2 \quad\quad\left( ^{*}1\right) \\ (x+3)^2+y^2=9\end{cases}}\)
po rozwinięciu kwadratów i odjęciu stronami otrzymam równanie prostej przechodzącej przez punkty wspólne obu okręgów
\(\displaystyle{ (2s+6)x+\left(4-\frac83s\right)y+21+\frac{16}{3}s=0}\)
podstawiam współrzędne punktu M
\(\displaystyle{ (2s+6)\cdot(-3)+\left(4-\frac83s\right)\cdot0+21+\frac{16}{3}s=0\ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} s=\frac92 \\ t=-4\\r^2=\frac{325}{4} \end{cases}}\)
podstawiam do równania szukanego okręgu \(\displaystyle{ \left( ^{*}1\right)}\)
\(\displaystyle{ \left( x-\frac92\right)^2+(y+4)^2=\frac{325}{4}}\)
Andrea pisze:Mogę też skonstruować warunek z twierdzenia Pitagorasa, gdzie odległość między środkami obu okręgów to suma kwadratów promieni:
\(\displaystyle{ (x+3)^2 + y^2 = r^2+9}\)
Nie ma warunku na odległość środków zależną tylko od promieni okręgów
a z Twojego warunku \(\displaystyle{ (x+3)^2 + y^2 = r^2+9}\) wynika \(\displaystyle{ r=0}\)
ODPOWIEDZ