Równanie prostej

[thalia]

Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(1,0,-1)}\), równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : 3x - 2y - 3z + 3 = 0}\) i przecinającej prostą \(\displaystyle{ \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+2}{2}}\).

1. Zapisałam warunek, że wektor kierunkowy szukanej prostej musi być prostopadły do normalnej podanej płaszczyzny: \(\displaystyle{ [3, -2,-3] \circ [u_{k1}, u_{k2}, u_{k3}]= 0}\).

2. Na podstawie podanej prostej wyznaczyłam punkt \(\displaystyle{ B(2,1,-2)}\), a dalej wektor \(\displaystyle{ \vec{AB} = [1, 1, -1]}\).

3. Wymnożyłam wektorowo wektor kierunkowy podanej prostej \(\displaystyle{ \vec{ u_{l} }=[1, -2, 2]}\) przez wektor \(\displaystyle{ \vec{AB} = [1, 1, -1]}\) otrzymując normalną pomocniczej płaszczyzny \(\displaystyle{ n_{2} = [0,1,1]}\).

4. Znowu zapisałam warunek, że wektor kierunkowy szukanej prostej musi być prostopadły do normalnej pomocniczej płaszczyzny: \(\displaystyle{ [0, 1,1] \circ [u_{k1}, u_{k2}, u_{k3}] = 0}\).

Czy to dobry sposób postępowania? Jaki powinien być kolejny krok?-- 18 czerwca 2016, 00:55 --Teraz zauważyłam, że wystarczy wymnożyć wektorowo wektory obu płaszczyzn i podstawić punkt A, prawda?

[SlotaWoj]

Tak

[kinia7]

Można też inaczej; szukana prosta musi należeć do płaszczyzny równoległej do \(\displaystyle{ \pi}\) i zawierającej punkt \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ 3\cdot1-2\cdot0-3\cdot(-1)=6\ \Rightarrow \ \pi':\ 3x-2y-3z-6=0}\)
punkt \(\displaystyle{ B}\) przecięcia się prostych jest punktem wspólnym danej prostej i płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi'}\)
równanie parametryczne danej prostej \(\displaystyle{ \begin{cases} x=2+t\\y=1-2t\\z=2t-2 \end{cases}}\)
podstawię do \(\displaystyle{ \pi'\ \ \ \ 3(2+t)-2(1-2t)-3(2t-2)-6=0 \ \Rightarrow \ t=-4\ \Rightarrow \ B=(-2,9,-10)}\)
szukana prosta przechodzi przez \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{-2-1}=\frac{y-0}{9-0}=\frac{z-(-1)}{-10-(-1)}\ \Rightarrow \ \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z+1}{3}}\)