Wyznacz punkty, w których wytyczono styczne prostopadłe

[Frynio]

Witam. Polecenie tak, jak w temacie, a dane:

\(\displaystyle{ x= f(y,z) = y^2z^3}\)

Styczne mają być prostopadłe do:

\(\displaystyle{ x=\frac{y}{2}=\frac{1-z}{3}}\)

I teraz mam \(\displaystyle{ \vec{v} = [1,2,-3]}\)

Następnie mój prowadzący robił taki myk:

\(\displaystyle{ k[1,-f_y,-f_z]=[1,2,-3]}\)

I teraz co to oznacza? I skąd w tym pierwszym nawiasie jest 1 (wiem, że ten nawias powinien być postaci \(\displaystyle{ [\lambda, - \lambda f_y,- \lambda f_z]}\), ale czemu 1, i dlaczego w ogóle robi się coś takiego?

W dodatku wyszło mu, że \(\displaystyle{ k=-1}\)

[kerajs]

Tylko kilka spraw potrafię wyjaśnić

Następnie mój prowadzący robił taki myk:
\(\displaystyle{ k[1,-f_y,-f_z]=[1,2,-3]}\)
I teraz co to oznacza? I skąd w tym pierwszym nawiasie jest 1.

1.
Brakuje primów. Ta równość powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ k[1,-f'_y,-f'_z]=[1,2,-3]}\)
2.
Wektor \(\displaystyle{ [1,-f'_y,-f'_z]}\) to gradient z funkcji \(\displaystyle{ F=x-f(y,z)}\) gdzie \(\displaystyle{ F(x,y,z)=0}\) jest innym zapisem Twojej funkcji \(\displaystyle{ x=f(x,y)}\)
\(\displaystyle{ grad (F)=\left[ F'_x, F'_y,F'_z\right] =\left[ 1 ,-f'_y,-f'_z\right]}\)
(wprowadzenie F(x,y,z) nie jest konieczne, ale lepiej wyjaśnia końcową postać wektora uzyskanego z gradientu)
3.
Gradient liczony w punkcie P powierzchni to wektor normalny do tej powierzchni (czyli prostopadły do płaszczyzny stycznej do tej powierzchni) w punkcie P.
4.
Czyli będzie on równoległy do wektora kierunkowego danej prostej. Równoległy, więc proporcjonalny. Stąd równanie
\(\displaystyle{ k[1,-f'_y,-f'_z]=[1,2,-3]}\)
\(\displaystyle{ [k,k (-f'_y),k (-f'_z)]=[1,2,-3]}\)
co daje układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} k=1 \\ k (-f'_y)=2 \\ k (-f'_z)=-3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} k=1 \\ k (-2yz^3)=2 \\ k (-3y^2z^2)=-3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} k=1 \\ yz^3=-1 \\ y^2z^2=1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} k=1 \\ y=-1 \\ z=1\end{cases} \vee \begin{cases} k=1 \\ y=1 \\ z=-1\end{cases}}\)
Pamiętając, że \(\displaystyle{ x=y^2z^3}\) masz szukane punkty: \(\displaystyle{ P_1=\left( 1,-1,1\right) \ , \ P_2=\left( -1,1,-1\right)}\)

(wiem, że ten nawias powinien być postaci \(\displaystyle{ [\lambda, - \lambda f_y,- \lambda f_z]}\), ale czemu 1, i dlaczego w ogóle robi się coś takiego?
W dodatku wyszło mu, że \(\displaystyle{ k=-1}\)

Ten współczynnik proporcjonalności może być dowolnie nazywany (k, lambda), ale wyniku \(\displaystyle{ k=-1}\) nie umiem wyjaśnić.