Płaszczyzna prostopadła do prostej

[olkaaa]

Jak znaleźć równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l}\) i przechodzącej przez początek układu współrzędnych?
\(\displaystyle{ l= \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-2}{5}}\)

\(\displaystyle{ P(0; 0; 0) \in \pi}\)

\(\displaystyle{ \pi \perp l}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \vec{n} = \vec{k}=\left[ 3,4,5\right]}\)
Płaszczyzna to:
\(\displaystyle{ 3(x-0)+4(y-0)+5(z-0)=0\\}\)

[olkaaa]

Dlaczego w równaniu płaszczyzny w miejsce A, B i C wstawiamy współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\)? Tzn. czemu jest on równy \(\displaystyle{ \vec{n}}\)?

[kerajs]

Skoro prosta jest prostopadła do płaszczyzny to i jej wektor kierunkowy jest prostopadły do płaszczyzny.
Dlatego kierunkowy i normalny są równolegle.

Niech
\(\displaystyle{ \vec{n}= \alpha \vec{k} = \alpha \left[ a,b,c\right]= \left[ \alpha a, \alpha b, \alpha c\right]}\)
Równanie płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \alpha a(x-x_0)+ \alpha b(y-y_0)+ \alpha c(z-z_0)=0}\)
dzieląc przez alfę mam
\(\displaystyle{ a(x-x_0)+ b(y-y_0)+ c(z-z_0)=0}\)
Więc równie dobrze mogę od razu wziąć:
\(\displaystyle{ \vec{n}= \vec{k}}\)