czworościan wektory dwa zadania

[beube]

1.W czworościanie \(\displaystyle{ OABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest miejscem przecięcia środkowych ściany \(\displaystyle{ ABC}\). Wyraź wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{OD}}\) przez wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{OA}}\), wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{OB}}\) i wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{OC}}\).


2.Korzystając z rachunku wektorowego oblicz wysokość czworościanu foremnego.


Co do zadania pierwszego, Gdzie są środkowe ściany \(\displaystyle{ ABC}\)? Jak to ugryźć?
Drugie też nie mam pojęcia jak zacząć.

[kerajs]

1.
\(\displaystyle{ \overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{OA}\\
\overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{DB}= \overrightarrow{OB}\\
\overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{OC}}\)
Dodając równania stronami mam
\(\displaystyle{ \overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}\\
3 \overrightarrow{OD}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC} \\
\overrightarrow{OD}= \frac{ \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}}{3}}\)

2.
\(\displaystyle{ h=\left| \frac{ \overrightarrow{AD}\circ \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right) }{\left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| } \right|}\)

[AiDi]

beube, przeczytaj proszę PW.

[a4karo]

A wystarczyło pracować na ćwiczeniach...

[kerajs]

Gdzie są środkowe ściany \(\displaystyle{ ABC}\)? Jak to ugryźć?

Środkowe:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arodkowa_tr%C3%B3jk%C4%85ta

[beube]

Wektory \(\displaystyle{ \vec{p}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{q}}\) są prostopadłe a wektor \(\displaystyle{ \vec{r}}\) tworzy z każdym z nich kąt \(\displaystyle{ 135^\circ}\). Oblicz:

\(\displaystyle{ | \vec{p} - 2\vec{q}- \vec{r} |}\) , \(\displaystyle{ ( \vec{p} - 3 \vec{r})\circ( 4\vec{p}+ \vec{q} )}\)


\(\displaystyle{ \vec{p}\circ\vec{q}= 0}\) bo są prostopadłe

Wymnożyłem \(\displaystyle{ ( \vec{p} - 3 \vec{r} )\circ( 4\vec{p}+ \vec{q} )}\) i wyszło \(\displaystyle{ \vec{p}\circ4\vec{r}+ \vec{p}\circ\vec{q} - 12 \vec{r} ^{2}- 3 \vec{r}\circ\vec{q}}\)

\(\displaystyle{ 135^\circ}\) to \(\displaystyle{ - \frac{\sqrt{2}}{2}}\) i co dalej? Korzystam ze wzoru na mnożenie skalarne wektorów?

[kerajs]

1. Przypuszczam, ze były jeszcze podane długości tych wektorów. Bez nich nie można policzyć modułu, a iloczyn skalarny (nb. blednie przepisany bo rozpisujesz go niezgodnie z zapisem) tylko na literkach.

2
\(\displaystyle{ \vec{a}\circ \vec{b}=\left| \vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| cos \left( \angle \left\{ \vec{a} , \vec{b}\right\}\right) =x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}}\)

\(\displaystyle{ \vec{a}\circ \vec{a}=\left| \vec{a} \right|^2}\)

[beube]

Nie ma podanych długości tych wektorów, dlatego nie wiem jak to dalej ruszyć.

[kerajs]

1)
Oblicz:\(\displaystyle{ | \vec{p} - 2\vec{q}- \vec{r} |}\) ,
Zrobiłbym rysunek i wektor ,,r' rozłożyłbym na składowe równoległe i prostopadle do wektora ,,p'
W kierunku wektora ,,p' sumuję składowe dostając wektor o długości: \(\displaystyle{ \left| \vec{p}\right|+ \frac{ \sqrt{2} }{2}\left| \vec{r}\right|}\).
W kierunku prostopadłym do wektora ,,p' sumuję składowe dostając wektor o długości: \(\displaystyle{ -2\left|\vec{q} \right|+ \frac{ \sqrt{2} }{2}\left| \vec{r}\right|}\).
Szukana długość to :
\(\displaystyle{ | \vec{p} - 2\vec{q}- \vec{r} |= \sqrt{\left( \left| \vec{p}\right|+ \frac{ \sqrt{2} }{2}\left| \vec{r}\right|\right) ^2+\left( -2\left|\vec{q}\right|+ \frac{ \sqrt{2} }{2}\left| \vec{r}\right|\right) ^2}}\)


2.
Oblicz:
\(\displaystyle{ ( \vec{p} - 3 \vec{r} )\circ( 4\vec{r}+ \vec{q} )=\vec{p}\circ4\vec{r}+ \vec{p}\circ\vec{q} - 12 \vec{r} \circ\vec{r}- 3 \vec{r}\circ\vec{q}=\\=4\left| \vec{p}\right|\left| \vec{r}\right|\cos 135 ^{o}+\left| \vec{p}\right|\left| \vec{q}\right|\cos 90 ^{o}-12\left| \vec{r}\right|\left| \vec{r}\right|\cos 0 ^{o} -3\left| \vec{r}\right|\left| \vec{q}\right|\cos 135 ^{o}=....}\)