Konwencja Einsteina - dowód

[marpus]

Mam udowodnić stosując konwencję Einsteina

\(\displaystyle{ \vec{x} \cdot ( \vec{x} \times \vec{y} ) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} e_{i} \cdot (( x_{i} e_{i}) \times (y _{j} e_{j}) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} e_{i} \cdot (( x_{i} y _{j}) \cdot (e_{i} e_{j})) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} e_{i} \cdot (x_{i} y _{j}) \cdot (e_{k} \in _{ijk}) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} x_{i} y_{j} \in _{ijk} (e_{i} \cdot e_{k}) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} x_{i} y_{j} \in _{ijk} (\delta _{ik}) = 0}\)

Wiem, że raz \(\displaystyle{ \in _{ijk}}\) a raz \(\displaystyle{ (\delta _{ik})}\) zawsze będzie nam zerować, no ale nie wiem jak to zapisać.

Z góry dzięki za pomoc

[SidCom]

pierwsze dwie linijki dobrze, reszta mętna.
A to jest powód, dla którego się to zeruje.

\(\displaystyle{ \epsilon_{ijk}\delta_{jk}=\epsilon_{ikk}=\epsilon_{ijj}=0}\)

[marpus]

hmm co rozumiesz przez "mętna"?


\(\displaystyle{ \vec{x} \cdot ( \vec{x} \times \vec{y} ) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} e_{i} \cdot (( x_{i} e_{i}) \times (y _{j} e_{j}) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} e_{i} \cdot (( x_{i} y _{j}) \cdot (e_{i} e_{j})) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} e_{i} \cdot (x_{i} y _{j}) \cdot (e_{k} \in _{ijk}) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} x_{i} y_{j} \in _{ijk} (e_{i} \cdot e_{k}) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} x_{i} y_{j} \in _{ijk} (\delta _{ik}) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} x_{i} y_{j} \cdot \in _{ikk} = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{i} x_{i} y_{j} \cdot 0 = 0}\)
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)

Tak będzie poprawnie?

[SidCom]

trzecia linijka to iloczyn skalarny wektora i liczby czyli nonsens

[marpus]

Czyli jak powinno być prawidłowo?

[SidCom]

rozpisujemy:
\(\displaystyle{ \vec{x} \cdot ( \vec{x} \times \vec{y} )=x_i( \vec{x} \times \vec{y} )_i=x_i \epsilon_{ijk}x_jy_k}\)
i po ostatnim znaku równości są już liczby mnożone w sposób zwykły.

Tensor \(\displaystyle{ \epsilon_{ijk}}\) ma 6 nieznikających wyrazów gdy \(\displaystyle{ i \ne j \ne k}\), czyli mamy:

\(\displaystyle{ x_1 \epsilon_{132}x_3y_2 + x_1 \epsilon_{123}x_2y_3 + \\ +x_2 \epsilon_{213}x_1y_3+
x_2 \epsilon_{231}x_3y_1 +\\+ x_3 \epsilon_{321}x_2y_1 + x_3 \epsilon_{312}x_1y_2=
-x_1 x_3y_2 + x_1 x_2y_3 -x_1x_2y_3+x_2 x_3y_1 - x_2 x_3y_1 + \\+x_1x_3y_2=0}\)