Określanie wartości kąta

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
marpus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 4 lut 2016, o 23:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 24 razy

Określanie wartości kąta

Post autor: marpus »

Witam, mam taki problem: nie wiem jak określać wartość kąta.

\(\displaystyle{ \vec{u} (2, 3, -1) \\
\vec{v} (1, -2, 3)}\)


Wyliczyłem sinusa i cosinusa

\(\displaystyle{ \cos (\phi) = -\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin (\phi) = \frac{ \sqrt{3}}{2}}\)

I mam wyznaczyć kąt \(\displaystyle{ \phi}\), nie bardzo wiem jak się to robi. Proszę o jakiś łatwy sposób

Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 2 cze 2016, o 21:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 6 razy.
Powód: Literówki w temacie. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Określanie wartości kąta

Post autor: dec1 »

To równanie trygonometryczne, akurat tu znasz rozwiązania, uwzględnij jeszcze okres i pomyśl jakie wartości \(\displaystyle{ \varphi}\) spełniają oba równania
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Określanie wartości kąta

Post autor: Slup »

Funkcje \(\displaystyle{ \sin(\phi)}\) oraz \(\displaystyle{ \cos(\phi)}\) dla \(\displaystyle{ \phi=0,30',60',90'}\) wyznacza się z definicji biorąc połowę trójkąta równobocznego. Dla \(\displaystyle{ \phi=45'}\) bierze się połowę kwadratu i też korzysta się z definicji. Potem wyniki się zapamiętuje, albo każdorazowo odtwarza w razie potrzeby. Następnie wykorzystując te wyniki i np. koło trygonometryczne lub wykresy funkcji \(\displaystyle{ \sin(\phi)}\) i \(\displaystyle{ \cos(\phi)}\) uzyskuje się wartości tych funkcji dla \(\displaystyle{ \phi=0,30',45',90',120',135',150',180',...}\)
itd.
W Twoim przypadku masz:
\(\displaystyle{ \phi=360'-30'=330'}\)
albo w radianach:
\(\displaystyle{ \phi=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}}\)
plus wielokrotności \(\displaystyle{ 360'}\)(albo \(\displaystyle{ 2\pi}\)).
Zwróć tylko uwagę na to, że jeśli dobrze policzyłeś sinus i cosinus(a chyba tak się stało, bo wynik wyszedł oczekiwany), to jako kąt pomiędzy \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ w}\) podałbym \(\displaystyle{ 30'}\)(albo \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)). Jeśli dwa wektory tworzą kąt \(\displaystyle{ 330'}\), to kąt dopełniający wyniesie \(\displaystyle{ 30'}\) i właściwie kwestią umowy jest, który z tych dwóch kątów jest kątem pomiędzy tymi wektorami. Moim zdaniem naturalne jest przyjąć, że jest to mniejszy z tych dwóch kątów, ale nie wiem jak inni to widzą.
marpus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 4 lut 2016, o 23:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 24 razy

Określanie wartości kąta

Post autor: marpus »

Zadanie miałem robione na zajęciach i \(\displaystyle{ \phi = \frac{2 \pi }{3}}\), więc coś chyba jeszcze nie tak.
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Określanie wartości kąta

Post autor: Slup »

To policzę sam.
\(\displaystyle{ (u,v)=2-6-3=-7}\)
oraz:
\(\displaystyle{ ||u||=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}}\)
\(\displaystyle{ ||v||=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \cos(\phi)=\frac{-7}{14}=-\frac{1}{2}}\)
Czyli źle policzyłeś \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \sin}\). Odpowiedź \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\) pasuje do tej wartości funkcji \(\displaystyle{ \cos}\), którą tu policzyłem.
marpus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 4 lut 2016, o 23:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 24 razy

Określanie wartości kąta

Post autor: marpus »

a tak, ale wyliczone mam dobrze. Tylko przy wpisywaniu tutaj na forum pomyliłem sin z cos i zapisałem odwrotnie

P.S

Już poprawiłem w pierwszym poście wartości
ODPOWIEDZ