Zbiór środków jednokładności

[Larsonik]

Dane sa proste \(\displaystyle{ l_{1} : y=2x}\) i \(\displaystyle{ l_{2} : y=2x + 4}\). Wyznacz zbiór wszystkich środków jednokładności, w których obrazem prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\) jest prosta \(\displaystyle{ l_{2}}\), jeśli skala jednokładności jest \(\displaystyle{ k > 1}\).

Jakoś sobie radziłem, jesli chodziło o równanie prostej będącej obrazem prostej w jakiejś jednokładności, przy krzywych było trochę gorzej, natomiast jeśli zadanie jest tego typu, to całkiem nie mogę sobie poradzić. Proszę was forumowiczów uprzejmie o pomoc, naprowadzenie na rozwiązanie.

[kerajs]

Wskazówka:
Środkiem jednokładności o \(\displaystyle{ k=2}\) będzie dowolny punkt prostej \(\displaystyle{ y=2x-2}\). Sprawdż
kilka.punktów z tej prostej.
A dla \(\displaystyle{ k=4}\) będzie to...
A dla \(\displaystyle{ k=..}\) będzie to...

Rozwiazanie:    

Szukany zbiór to półpłaszczyzna :
\(\displaystyle{ y<2x}\)

[Larsonik]

Rozumiem, że muszą to być punkty znajdujące się pod prostą \(\displaystyle{ y = 2x}\), gdyż jest to jednokładność prosta, a na dodatek odbicie punktów z tej prostej musi być nad tą prostą, bo \(\displaystyle{ k > 1}\), aczkolwiek nie mam pojęcia jak to zapisać algebraicznie. Czy moze wystarczy to narysować i opisać?

[kerajs]

No tak, zapis nieskończenie wielu jednokładności o nieskończenie wielu skalach może być kłopotliwe. Pomysł z rysunkiem/rysunkami i opisem/opisami jest jak najbardziej słuszny.

Ps. A gdybyś wpierw wykazał, że w jednokładności obrazem prostej jest prosta do niej równoległa, a potem że dowolny środek jednokładności wybrany z półpłaszczyzny \(\displaystyle{ y<2x}\) przekształca \(\displaystyle{ l_1}\) w \(\displaystyle{ l_2}\) wyłącznie dla \(\displaystyle{ k>1}\) ?

[Majeskas]

No tak, zapis nieskończenie wielu jednokładności o nieskończenie wielu skalach może być kłopotliwe. Pomysł z rysunkiem/rysunkami i opisem/opisami jest jak najbardziej słuszny.

Nie ma co kombinować z "zapisem nieskończenie wielu jednokładności", a pomysł z rysunkiem/rysunkami i opisem/opisami jest jak najbardziej niesłuszny. Niby jakie miałyby to być rysunki i co miałoby z nich wynikać? Rysunki to można zrobić pomocnicze dla siebie. To jest zadanie, w którym trzeba wypatrzeć, jakie jest rozwiązanie (tak jak już to zrobiliście), a następnie udowodnić, że jest właśnie takie.

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie poszukiwanym zbiorem środków jednokładności, a \(\displaystyle{ B}\) półpłaszczyzną \(\displaystyle{ \left\{ (x,y):\ y<2x\right\}}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ A=B}\).

O tym, że \(\displaystyle{ A\subset B}\), już było tu napomknięte. Gdyby środek jednokładności leżał na prostej \(\displaystyle{ l_1}\), obrazem byłaby ona sama. Gdyby leżał w pasie między \(\displaystyle{ l_1}\) a \(\displaystyle{ l_2}\), musiałaby to być jednokładność odwrotna. Gdyby leżał na \(\displaystyle{ l_2}\), skala musiałaby być zero, a powyżej \(\displaystyle{ l_2}\) mielibyśmy \(\displaystyle{ k\in(0,1)}\).
(W razie czego można to wszystko formalnie sprawdzić).

Teraz w drugą stronę. Ustalmy dowolny punkt \(\displaystyle{ P\in B}\). Trzeba pokazać, że jest środkiem pewnej jednokładności o skali \(\displaystyle{ k>1}\), przeprowadzającej \(\displaystyle{ l_1}\) na \(\displaystyle{ l_2}\). Widać, jak to zrobić?

[Larsonik]

Myślę, że z tym zapisem, gdzie jest nieskończenie wiele skal, to raczej chodziło o zapis wektorowy. Bardzo ładnie opisane, kolego Majeskas. Jednak w gruncie rzeczy, to co napisałeś, to nic innego, jak to, co rozumiałem przez opis do rysunku

[Majeskas]

Myślę, że z tym zapisem, gdzie jest nieskończenie wiele skal, to raczej chodziło o zapis wektorowy.

Nie rozumiem tego zdania, ale nie muszę

Bardzo ładnie opisane, kolego Majeskas. Jednak w gruncie rzeczy, to co napisałeś, to nic innego, jak to, co rozumiałem przez opis do rysunku

Dla mnie "opis do rysunku" znaczy coś innego niż 'przedstawienie rozumowania matematycznego, które uzasadnia odpowiedź do zadania', ale skoro tak, to w porządku

[kerajs]

1.
Chyba powinienem stosować emotikony, skoro przy tych nielicznych sytuacjach gdy żartuję, wywołuje to niepotrzebne zamieszanie. Pisząc:,,No tak, zapis nieskończenie wielu jednokładności o nieskończenie wielu skalach może być kłopotliwy' żartobliwie sugerowałem niemożność takiego zapisu.

2.
,,Pomysł z rysunkiem/rysunkami i opisem/opisami jest jak najbardziej słuszny.'
Krytykę Majeskasa co do tego zdania, obronił już autor tematu. Dziękuję.