Napisać równanie krzywej

[Dario1]

Napisać równanie normalne krzywej (elipsa) będącej miejscem geometrcznym punktów \(\displaystyle{ P\left( x,y\right)}\), dla których suma ich odległości od dwóch zadanych punktów \(\displaystyle{ A _{1}\left( 3,0\right),A _{2}\left( -3,0\right)}\) jest stała i wynosi \(\displaystyle{ \left| A _{1} P\right|+\left| A _{2} P \right|=4}\). Sprowadzić równanie do postaci kanonicznej.

[piasek101]

No to wyznaczasz te odległości w zależności od (x) i (y), wstawiasz do ostatniej zależności i ... (tu jakiś problem ? bo nie robiłem).

[janusz47]

Ze wzoru na odległość kartezjańską dwóch punktów, otrzymujemy równanie :

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}+ \sqrt{(x+3)^2+y^{2}}= 4.}\)

Przenosząc drugi człon prawej strony równania na lewą stronę otrzymujemy

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}= 4 -\sqrt{(x+3)^2+y^{2}}}\) (1)

Podnosimy obie strony równania (1) do kwadratu

\(\displaystyle{ x^{2}-6x +9 +y^{2}= 16 - 8\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+x^{2}+6x+9+y^{2}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ -12x -16 = -8\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}}\) (2)

Dzielimy obie strony równania (2) przez -4.

\(\displaystyle{ 3x +4 = 2\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}}\)

Ponownie podnosimy do kwadratu:

\(\displaystyle{ 9x^{2}+24x +16 = 4(x+3)^{2}+ 4y^{2}.}\)

Po uporządkowaniu:

\(\displaystyle{ -5x^{2}+ 4y^{2} =-20}\) - nie jest to równanie elipsy, tylko hiperboli - zadanie nie ma sensu.

Mogliśmy to stwierdzić od razu, bo

\(\displaystyle{ 2a = 4}\) nie jest większe od \(\displaystyle{ 2c = 6.}\)

Innymi słowy mimośród krzywej \(\displaystyle{ \epsilon = \frac{c}{a}= \frac{6}{4}=\frac{3}{2}}\) nie jest mniejszy od \(\displaystyle{ 1.}\)

[kinia7]

\(\displaystyle{ A _{1}\left( 3,0\right),A _{2}\left( -3,0\right)}\)

\(\displaystyle{ \left| A _{1} P\right|+\left| A _{2} P \right|=4}\)

\(\displaystyle{ |A_1A_2|=6}\)
więc musi być
\(\displaystyle{ \left| A _{1} P\right|+\left| A _{2} P \right| \ge 6}\)
czyli sprzeczność