Jak wyznaczyć współrzędne odcinka?

[drago77]

Witam. Otóż mam następujący problem. Mam odcinek, który zaczyna się w punkcie \(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1})}\) i kończy w punkcie \(\displaystyle{ (x_{2}, y_{2})}\). Mam też 2 odcinek, który zaczyna się w punkcie \(\displaystyle{ (x_{2}, y_{2})}\) (tam, gdzie kończy się 1 odcinek) i ma długość \(\displaystyle{ r}\). Jak mam wyznaczyć współrzędne ostatniego punktu 2 odcinka biorąc pod uwagę, że kąt między dwoma odcinkami będzie wynosił \(\displaystyle{ \alpha}\)?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_2+r \cos ( \pi +\arctg \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}+ \alpha ) \\ y=x_2+r \sin ( \pi +\arctg \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}+ \alpha ) \end{cases} \ \ \ \, x_1 \neq x_2}\)

Możliwe że chodzi Ci o punkt
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_2+r \cos ( \pi +\arctg \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}- \alpha ) \\ y=x_2+r \sin ( \pi +\arctg \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}- \alpha ) \end{cases} \ \ \ \, x_1 \neq x_2}\)
ale nie określiłeś tego dokładnie w treści tematu.

A jak będzie dla \(\displaystyle{ x_1 = x_2}\) ?

[drago77]

Próbowałem podstawić sobie liczby pod te wartości, ale wychodziły mi trochę złe wyniki.

Może powiem tak. Mam odcinek i chcę wyznaczyć współrzędne środka okręgu, który jest styczny w danym punkcie z tym odcinkiem.

Przykładowo, mam odcinek o początku w punkcie \(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1})}\) i końcu w punkcie \(\displaystyle{ (x_{2}, y_{2})}\). Teraz chcę wyznaczyć środek okręgu, który będzie styczny z tym odcinkiem w punkcie np. \(\displaystyle{ (x_{2}, y_{2})}\). I właśnie jak mam wyznaczyć ten środek okręgu?

Jednym z moich pomysłów było znalezienie promienia, który jest prostopadły do odcinka i koniec tego promienia będzie środkiem okręgu. Tylko że po podstawieniu liczb do podanych wzorów wyszły mi jakieś dziwne liczby. Być może ja coś źle zrobiłem, a wzór jest ok.

Mimo wszystko czy istnieje jakiś sposób na wyznaczenie środka okręgu, który to okrąg jest styczny z prostą w podanym punkcie?

[a4karo]

Możesz tez inaczej: znacz pole trójkąta utworzonego przez te dwa odcinki, więc możesz wyliczyc równanie prostej równoległej do \(\displaystyle{ x_1x_2}\) na której leży trzeci wierzchołek. Stąd już łatwo o układ równań, które muszą być spełnione.

[kruszewski]

Geometrycznie to będzie tak:
używamy dwa razy cyrkla i dwa razy liniału.



Dane są:
półprosta ( prosta) \(\displaystyle{ p=}\) punkt \(\displaystyle{ B \in p}\) i promień \(\displaystyle{ R}\) okręgu stycznego do \(\displaystyle{ p}\) w \(\displaystyle{ B}\).
Rozwiązanie:
cyrklem o jednym rozsunięciu równym \(\displaystyle{ R}\) użytym dwukrotnie i dwukrotnym użyciu liniału.

Okręgi wytyczone ze środków \(\displaystyle{ O_3_'}\) i \(\displaystyle{ O_3_''}\) są ilustracją, bowiem poszukiwanymi są środki tych okręgów owe punkty \(\displaystyle{ O_3_'}\) i \(\displaystyle{ O_3_''}\)

[kerajs]

Próbowałem podstawić sobie liczby pod te wartości, ale wychodziły mi trochę złe wyniki.

A wszystkie kąty były wyrażone w radianach (względnie tylko w stopniach) ?

Mała modyfikacja

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_2+r \cos ( \pi +\arctg \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\pm \alpha ) \\ y=y_2+r \sin ( \pi +\arctg \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\pm \alpha ) \end{cases} \ \ dla \ \, x_1 < x_2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_2+r \cos ( \arctg \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\pm \alpha ) \\ y=y_2+r \sin ( \arctg \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \pm \alpha ) \end{cases} \ \ dla \ \, x_1 > x_2}\)

Dla \(\displaystyle{ x_1=x_2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_2+r \cos ( \pi \pm \alpha ) \\ y=y_2+r \sin ( \pi \pm \alpha ) \end{cases} \ \ dla \ \ y_1 > y_2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_2+r \cos (- \pi \pm \alpha ) \\ y=y_2+r \sin ( - \pi \pm \alpha ) \end{cases} \ \ dla \ \ y_1 < y_2}\)

Mimo wszystko czy istnieje jakiś sposób na wyznaczenie środka okręgu, który to okrąg jest styczny z prostą w podanym punkcie?

Dla kąta prostego wzorki się upraszczają do
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_2+r \cos ( \arctg \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\pm \frac{\pi}{2} ) \\ y=y_2+r \sin ( \arctg \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \pm \frac{\pi}{2} ) \end{cases} \ \ dla \ \, x_1 \neq x_2}\)
Dla \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) masz
\(\displaystyle{ x=x_2 \pm r \wedge y=y_2}\)