Witam, mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania:
Znaleźć krzywiznę krzywej określonej wzorem \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2-3=0}\) w punkcie \(\displaystyle{ A(1,1)}\)
Nie mam pojęcia jak tknąć to zadanie, myślałem nad tym, czy nie sparametryzować tej krzywej, ale tego też zrobić nie umiem
Pozdrawiam,
Bad Shadow
Obliczenie krzywizny krzywej
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 31 maja 2009, o 21:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Obliczenie krzywizny krzywej
\(\displaystyle{ y^2+xy+x^2-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=x^2-4(x^2-3)=12-3x^2}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{-x+\sqrt{12-3x^2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{-1-\frac{3x}{\sqrt{12-3x^2}}}{2}\quad \Rightarrow \quad y'(1)=-1}\)
\(\displaystyle{ y''=\frac{-18}{\sqrt{\left( 12-3x^2\right)^3}}\quad \Rightarrow \quad y''(1)=-\frac23}\)
\(\displaystyle{ k=\frac{|y''|}{\sqrt{\left(1+(y')^2\right)^3}}=\frac{\frac23}{\sqrt{\left( 1+(-1)^2\right)^3 }}=\frac{\sqrt2}{6}}\)
\(\displaystyle{ \Delta=x^2-4(x^2-3)=12-3x^2}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{-x+\sqrt{12-3x^2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{-1-\frac{3x}{\sqrt{12-3x^2}}}{2}\quad \Rightarrow \quad y'(1)=-1}\)
\(\displaystyle{ y''=\frac{-18}{\sqrt{\left( 12-3x^2\right)^3}}\quad \Rightarrow \quad y''(1)=-\frac23}\)
\(\displaystyle{ k=\frac{|y''|}{\sqrt{\left(1+(y')^2\right)^3}}=\frac{\frac23}{\sqrt{\left( 1+(-1)^2\right)^3 }}=\frac{\sqrt2}{6}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Obliczenie krzywizny krzywej
\(\displaystyle{ x^{2} + xy + y^{2} -3 =0}\) (0)
\(\displaystyle{ k = \frac{|y"(A)|}{(1+ y'(A)^{2})^{\frac{3}{2}}}}\) (k)
Różniczkując obustronnie równanie (0)
\(\displaystyle{ 2x +y +xy' +2yy' =0.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ y'(x,y) = \frac{-(y+2x)}{x+2y}}\) (1)
Różniczkując (1)
\(\displaystyle{ y"(x,y) = \frac{-\left[ (y'+2)(x+2y)-(y+2x)(1+2y')\right] }{(x+2y)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y"(x,y) = \frac{3(xy' -y)}{(x+2y)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y'(A)= y'(1,1)= -1}\) (2)
\(\displaystyle{ y"(A) = y"(1,1) = \frac{4}{3}}\) (3)
Po podstawieniu (2), (3) do (k)
\(\displaystyle{ k = \frac{|\frac{4}{3}|}{(1+(-1)^{2})^{\frac{3}{2}}}= \frac{2^{2}}{3\cdot 2^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{3}.}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{|y"(A)|}{(1+ y'(A)^{2})^{\frac{3}{2}}}}\) (k)
Różniczkując obustronnie równanie (0)
\(\displaystyle{ 2x +y +xy' +2yy' =0.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ y'(x,y) = \frac{-(y+2x)}{x+2y}}\) (1)
Różniczkując (1)
\(\displaystyle{ y"(x,y) = \frac{-\left[ (y'+2)(x+2y)-(y+2x)(1+2y')\right] }{(x+2y)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y"(x,y) = \frac{3(xy' -y)}{(x+2y)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y'(A)= y'(1,1)= -1}\) (2)
\(\displaystyle{ y"(A) = y"(1,1) = \frac{4}{3}}\) (3)
Po podstawieniu (2), (3) do (k)
\(\displaystyle{ k = \frac{|\frac{4}{3}|}{(1+(-1)^{2})^{\frac{3}{2}}}= \frac{2^{2}}{3\cdot 2^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{3}.}\)
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Obliczenie krzywizny krzywej
\(\displaystyle{ y''(1,1)=\frac{3\left(1\cdot(-1)-1\right)}{\left( 1+2\cdot1\right) ^2}=-\frac{2}{3}}\)janusz47 pisze:\(\displaystyle{ \(\displaystyle{ y"(x,y) = \frac{3(xy' -y)}{(x+2y)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y'(A)= y'(1,1)= -1}\) (2)
\(\displaystyle{ y"(A) = y"(1,1) = \frac{4}{3}}\) (3)}\)