Odległość środków okręgów dla dowolnego punktu P

[desperate]

Przez dowolny punkt P wykresu funkcji y= \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\), gdzie x>0, można poprowadzić dwa okręgi, z których każdy jest styczny do obu osi układu współrzędnych. Wyznacz odległość środków tych okręgów (dla dowolnego punktu P).

?????????? podobno ta odległość to 4

[Poszukujaca]

Współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\) możesz oznaczyć tak: \(\displaystyle{ P=(x, \frac{1}{x} )}\).

Zastanów się jak sprytnie oznaczyć współrzędne punktów, które są środkami tych okręgów. Styczność do obu osi bardzo tutaj pomaga.

Kombinuj ze wzorami na odległość dwóch punktów (dowolnych na płaszczyźnie. Jak obliczysz długość promieni tych okręgów?

[desperate]

Nie wiem nie wiem kompletnie od czego tu zacząć, chciałam wrzucić ten punkt P do wzoru na równanie okręgu i policzyć jakoś delte która musiałaby byc = 0, ale nie mam właśnie ani środka ani długości promieni

[kerajs]

Aby okrąg z pierwszej ćwiartki był styczny do osi układu współrzędnych to powinien mieć równanie:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-a)^2=a^2}\) dla \(\displaystyle{ a>0}\)
(środek musi leżeć na prostej \(\displaystyle{ y=x}\) )
Stąd równanie dla punktu hiperboli:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+( \frac{1}{x} -a)^2=a^2}\)

Rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ a^2-2a(x+ \frac{1}{x} )+x^2+\frac{1}{x^2}=0\\
(a- \frac{x^2+1}{x} )^2=2\\
a_1=\frac{x^2+1}{x}+ \sqrt{2} \ \ , \ \ a_2=\frac{x^2+1}{x}- \sqrt{2}\\
d= \sqrt{(a_1-a_2)^2+(a_1-a_2)^2}= \sqrt{2}\left| a_1-a_2\right|= \sqrt{2} \left| (\frac{x^2+1}{x}+ \sqrt{2})-(\frac{x^2+1}{x}- \sqrt{2})\right|=\\= \sqrt{2}\left| 2\sqrt{2}\right|= 4}\)