Równanie prostej stycznej/normalnej do powierzchni w punkcie

[Transpluton]

Po edycjach:
Czy mógłby ktoś sprawdzić poprawność mojego rozumowania?

Otóż mam takie zadania aby wyznaczyć równianie prostej stycznej/normalnej do powierzchni w punkcie...

Problem 1:
Jeżeli mam podany wzór funkcji w postaci \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\) lub \(\displaystyle{ F(x,y,z)=0}\), punkt \(\displaystyle{ P _{0}=(x _{0},y _{0},z _{0})}\) lub \(\displaystyle{ P _{0}=(x _{0},y _{0})}\) oraz wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=(v _{1},v _{2})}\) to:

Aby znaleźć płaszczyznę styczną wrzucam dane do wzoru:
\(\displaystyle{ z-f(x _{0},y _{0})= \frac{ \partial f}{ \partial x} (x _{0},y _{0})(x-x_{0})+\frac{ \partial f}{ \partial y} (x _{0},y _{0})(y-y_{0})}\)

Następnie współrzędne wektora dzielę przez normę:\(\displaystyle{ \vec{\left|| v|\right| }=\left( \frac{v _{1}}{\left|| v |\right|},\frac{v _{2}}{\left|| v |\right|}\right)}\).

Później doliczam pochodną kierunkową w punkcie podzieloną przez normę otrzymując wektor styczny równy: \(\displaystyle{ \left( \frac{v _{1}}{\left|| v |\right|},\frac{v _{2}}{\left|| v |\right|}, \frac{\frac{ \partial f}{ \partial \vec{v}}(x _{0},y _{0})}{\left|| v|\right| } \vee \frac{\frac{ \partial f}{ \partial \vec{v}}(x _{0},y _{0},z_{0})}{\left|| v|\right|}\right)}\).

Wobec tego prosta styczna/normalna ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x _{0}\\y _{0}\\z_{0} \vee f(x _{0},y _{0})\end{array}\right]+ \alpha \left[\begin{array}{ccc} \frac{v _{1}}{\left|| v |\right|}\\ \frac{v _{2}}{\left|| v |\right|}\\ \frac{\frac{ \partial f}{ \partial \vec{v}}(x _{0},y _{0})}{\left|| v|\right| } \vee \frac{\frac{ \partial f}{ \partial \vec{v}}(x _{0},y _{0},z_{0})}{\left|| v|\right|}\right)\end{array}\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) należy do \(\displaystyle{ \RR}\).

Problem 2:
Jeżeli mam podany wzór funkcji w postaci \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\), punkt \(\displaystyle{ P _{0}=(x _{0},y _{0})}\), (bez wektora) to:

Aby znaleźć płaszczyznę styczną wrzucam dane do wzoru:
\(\displaystyle{ z-f(x _{0},y _{0})= \frac{ \partial f}{ \partial x} (x _{0},y _{0})(x-x_{0})+\frac{ \partial f}{ \partial y} (x _{0},y _{0})(y-y_{0})}\)

Zauważam, że prosta normalna/styczna ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x _{0}\\y _{0}\\ f(x _{0},y _{0})\end{array}\right]+ \alpha \left[\begin{array}{ccc}\frac{ \partial f}{ \partial x} (x _{0},y _{0})\\\frac{ \partial f}{ \partial y} (x _{0},y _{0})\\-1\end{array}\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) należy do \(\displaystyle{ \RR}\)

Problem 3:
Jeżeli mam podany wzór funkcji w postaci \(\displaystyle{ F(x,y,z)=0}\), punkt \(\displaystyle{ P _{0}=(x _{0},y _{0},z _{0})}\), (bez wektora) to:

Aby znaleźć płaszczyznę styczną wrzucam dane do wzoru:
\(\displaystyle{ z-f(x _{0},y _{0})= \frac{ \partial f}{ \partial x} (x _{0},y _{0})(x-x_{0})+\frac{ \partial f}{ \partial y} (x _{0},y _{0})(y-y_{0})}\)

Zauważam, że prosta normalna/styczna ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x _{0}\\y _{0}\\ z _{0}\end{array}\right]+ \alpha \left[\begin{array}{ccc}\frac{ \partial f}{ \partial x} (x _{0},y _{0},z _{0})\\\frac{ \partial f}{ \partial y} (x _{0},y _{0},z _{0})\\\frac{ \partial f}{ \partial z} (x _{0},y _{0},z _{0})\end{array}\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) należy do \(\displaystyle{ \RR}\)

Czy przepisy na rozwiązanie tych trzech problemów są poprawne?