Środkowe punkty boków czworokąta tworzą równoległobok?

[infinitel]

Witam!
Pewny czworokąt o wierzchołkach A(-3,5;5) B(3,2) C(1,-2) D(-2,-3) w układzie współrzędnych.
Środkowe punkty na bokach tego czworokąta są wierzchołkami innego czworokąta (jest on wpsiany w pierwszy), który jest równoległobokiem.

Po przesunięciu jednego z wierzchołków pierwszego czworokąta, wpisana figura nadal pozostaje równolęgłobokiem. Udowodnij dlaczego.

[a4karo]

Bo śrdodki zawsze tworzą rónoległobok. Fajnie sie to wektorami pokazuje

[Dilectus]

[a4karo]

To jest niestety przykład jak to zadanie NIE powinno byc rozwiązane. Skoro korzystamy z wektorów, to mieszanie do tego podobieństw i wyciąganie z nich wniosku o równoległosci jest zupełnie nie na miejscu.




\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below left]{A}--(6,-2) node[below right]{B}--(4,4) node[above right]{C}--(-2,4) node[above left]{D}--cycle;
\filldraw[blue] (3,-1) circle (.4mm) node[below,black]{P};
\filldraw[blue] (5,1) circle (.4mm) node[right,black]{Q};
\filldraw[blue] (1,4) circle (.4mm) node[above,black]{R};
\filldraw[blue] (-1,2) circle (.4mm) node[left,black]{S};
\end{tikzpicture}\\
\vec{PQ}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{BC})\\
\vec{RS}=\frac{1}{2}(\vec{CD}+\vec{DA})}\)
dodając stronami mamy
\(\displaystyle{ \vec{PQ}+\vec{RS}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA})=\vec{AA}=\vec{0}}\)
co kończy dowód

Można i bez wektorów: z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa mamy \(\displaystyle{ PQ||AC}\) i \(\displaystyle{ RS||AC}\), zatem \(\displaystyle{ PQ||RS}\). Podobnie \(\displaystyle{ QR||PS}\).