Środkowa trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzona z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) jest zawarta w prostej \(\displaystyle{ 7x+y=6}\), a wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(\displaystyle{ B}\) - w prostej \(\displaystyle{ x+3y=8}\). Oblicz współrzędne punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\), jeśli \(\displaystyle{ A=\left( -3;-3\right)}\).
Obliczyłem punkt \(\displaystyle{ C}\), ale nie mam pomysłu na punkt \(\displaystyle{ B}\). Na rysunku widzę, że \(\displaystyle{ B}\) wyjdzie \(\displaystyle{ \left( 5;1\right)}\), niestety nie umiem tego wyliczyć. :/
Oblicz współrzędne punktów B i C, jeśli A
Oblicz współrzędne punktów B i C, jeśli A
Punkt \(\displaystyle{ B=(x_b,y_b)}\).
Punkt \(\displaystyle{ D}\), który jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\), leży na prostej zawierającej środkową, więc \(\displaystyle{ 7\cdot\frac{x_b-3}{2}+\frac{y_b-3}{2}=6 \Leftrightarrow 7x_b+y_b=36}\).
Punkt \(\displaystyle{ B}\) leży na prostej zawierającej wysokość, więc \(\displaystyle{ x_b+3y_b=8}\).
Rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7x_b+y_b=36 \\ x_b+3y_b=8 \end{cases}}\)
No i wychodzi \(\displaystyle{ B=(5,1)}\).
Punkt \(\displaystyle{ D}\), który jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\), leży na prostej zawierającej środkową, więc \(\displaystyle{ 7\cdot\frac{x_b-3}{2}+\frac{y_b-3}{2}=6 \Leftrightarrow 7x_b+y_b=36}\).
Punkt \(\displaystyle{ B}\) leży na prostej zawierającej wysokość, więc \(\displaystyle{ x_b+3y_b=8}\).
Rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7x_b+y_b=36 \\ x_b+3y_b=8 \end{cases}}\)
No i wychodzi \(\displaystyle{ B=(5,1)}\).