Obliczanie punktu przecięcia odcinka z okręgiem

[myshol]

Szukam równania, dzięki któremu będę mógł obliczyć współrzędne punktu przecięcia odcinka z okręgiem przy następujących założeniach:

- dany jest punkt \(\displaystyle{ A (x_A,y_A)}\)
- dany jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
- dany jest promień okręgu \(\displaystyle{ r}\)

Z punktu \(\displaystyle{ A}\) rysujemy okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\). Punkt \(\displaystyle{ A}\) jest też początkiem odcinka, który względem osi \(\displaystyle{ Y}\) nachylony jest o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) . Drugim końcem odcinka ma być punkt przecięcia odcinka z narysowanym okręgiem, którego współrzędne trzeba obliczyć.

Szukane są \(\displaystyle{ B(x_B, y_B)}\).

Chciałem wyprowadzić wzory wychodząc od układu równań:
- prostej w postaci kierunkowej (co pozwoli wykorzystać wspomniany kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) )
- z równania okręgu w układzie współrzędnych.

Jednak rozwiązanie tego układu się komplikuje. Czy jest łatwiejszy sposób?

Pozdrawiam

[a4karo]

Przesuń cały obrazek o wektor \(\displaystyle{ [-x_A,-y_A]}\)

[myshol]

Nie do końca rozumiem tę podpowiedź. Jakie są korzyści z rozpatrywania tego problemu w początku układu współrzędnych? Problem zostaje ten sam.

Dla mnie sprowadza się to raczej do rozwiązania takiego układu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = \tan \alpha \cdot x + y_A - \tan \alpha \cdot x_A\\ (x- x_A)^{2} + (y- y_A) ^{2} = r^{2} \end{cases}}\)

Może mając na myśli przesunięcie o wektor sugerujesz uproszczenie go?

Pozdrawiam

[a4karo]

Po prostu jak się przesunie, to nie ma co liczyć, bo wszystko widać na obrazku

[myshol]

Jak dokładnie sugerujesz to rozwiązać?



Dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) (na rysunku a) i danych \(\displaystyle{ A (x_A,y_A)}\) oraz znanej średnicy okręgu, chcę wyliczać współrzędne punktu B.

[kinia7]

a dolnego obrazka wylicz \(\displaystyle{ (x_B,y_B)}\) i przesuń go o wektor \(\displaystyle{ [x_A,y_A]}\)

[a4karo]

Wsk. Narysuj prostokąt, którego przekątna jest odcinek \(\displaystyle{ AB}\) a boki sa równoległe do osi

[myshol]

Korzystając z Waszych sugestii i upraszczajac mój układ uzyskałem takie wzory:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_B = \sqrt{ \frac{ r^{2} }{ 1+\tan \alpha ^{2} } } \\ y_B = \tan \alpha \cdot x_B \end{cases}}\)

Oczywiście należy odpowiednio dodać \(\displaystyle{ x_A}\) oraz \(\displaystyle{ y_A}\).

Proszę o weryfikację.

[a4karo]

ten pierwiastek da sie uprościc. A wzór na \(\displaystyle{ y_B}\) nie powinien zależeć od \(\displaystyle{ x_B}\)

[myshol]

Oczywiście, rozumiem. Jeżeli nie ma błędu mogę to wprowadzić do programu.

Dziękuję za wskazówki, pozdrawiam.

[a4karo]

Ale chyba coś nie tak: zobacz co sie dzieje dla \(\displaystyle{ \alpha=0}\)

[myshol]

Dla tych kilku wartości tangens kąta, które dają 0, wystarczą proste operacje arytmetyczne. Podczas pisania programu poradzę sobie z tym badając wartość kąta na początku funkcji. Jutro sprawdzę, czy to działa.

Czy można to rozwiązać matematycznie dochodząc do lepszego wzoru? Może trzeba podejść do problemu inaczej?

[a4karo]

Wzór jest zły

[myshol]

Zmieniłem podejście...

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \alpha = \frac{x_B}{r} \\ x_B^{2} + y_B^{2} = r^{2} \end{cases}}\)

Co daje...

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_B = \sin \alpha \cdot r \\ y_B = r ( 1 - \sin \alpha) \end{cases}}\)

...czyli...

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_B = \sin \alpha \cdot r + x_A\\ y_B = r ( 1 - \sin \alpha) + y_A \end{cases}}\)

Czy teraz się zgadza?

[a4karo]

\(\displaystyle{ y_B}\) jest żle. Może byś jednak zerknął na ten prostokąt?