równanie okręgu prosta nieprzecinająca okrąg

[wielkireturner]

Mam okrąg o równaniu \(\displaystyle{ (x+1)^{2}+(y-5)^{2}=25}\). Czy mogę szybko wyznaczyć, dla jakiej wartośći parametru \(\displaystyle{ a \in R}\) prosta \(\displaystyle{ x - a y +4 = 0}\) nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem?

[wujomaro]

Znajdź środek okręgu. Kiedy ta prosta nie będzie miała punktów wspólnych z okręgiem?
Pozdrawiam!

[wielkireturner]

Znajdź środek okręgu. Kiedy ta prosta nie będzie miała punktów wspólnych z okręgiem?
Pozdrawiam!

Nad tym mniej więcej się zastanawiałem.

[cosinus90]

Kiedy ta prosta będzie oddalona od środka okręgu o więcej niż...

[wielkireturner]

Otrzymałem nierówność \(\displaystyle{ 10a^{2} +2 - 15 a < 0}\), a znak wartości bezwzględnej zdjąłem, uwzględniając, że \(\displaystyle{ a<0}\), bo tak wynika z warunków zadania.

[kerajs]

Inaczej:
Punktem wspólnym pęku prostych jest \(\displaystyle{ A=(-4,0)}\). Środek okręgu punkt styczności oraz A tworzą przystające trójkąty prostokątne o kacie \(\displaystyle{ \alpha}\) przy punkcie A.
\(\displaystyle{ a _{st}=\tan( \pi -2 \alpha ) =-\frac{2\tan \alpha }{\tan^2 \alpha -1 }= -\frac{ 2 \cdot \frac{5}{3} }{(\frac{5}{3})^2-1}=- \frac{15}{8}}\)

Odp: \(\displaystyle{ - \frac{15}{8}< \frac{1}{a} <0 \Rightarrow a \in ......}\)

[wielkireturner]

Inaczej:
Punktem wspólnym pęku prostych jest \(\displaystyle{ A=(-4,0)}\). Środek okręgu punkt styczności oraz A tworzą przystające trójkąty prostokątne o kacie \(\displaystyle{ \alpha}\) przy punkcie A.
\(\displaystyle{ a _{st}=\tan( \pi -2 \alpha ) =-\frac{2\tan \alpha }{\tan^2 \alpha -1 }= -\frac{ 2 \cdot \frac{5}{3} }{(\frac{5}{3})^2-1}=- \frac{15}{8}}\)

Odp: \(\displaystyle{ - \frac{15}{8}< \frac{1}{a} <0 \Rightarrow a \in ......}\)

Według mojego rozwiązania \(\displaystyle{ a \in \left( \frac{ 15 - \sqrt{145} } {20} , \frac{15+ \sqrt{145} }{20}\right)}\).

[kerajs]

A weryfikowałeś swoje rozwiązanie z rysunkiem?

Inaczej
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1)^{2}+(y-5)^{2}=25\\ x - a y +4 = 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (ay-4+1)^{2}+(y-5)^{2}=25}\)
\(\displaystyle{ (1+a^2)y^2+y(-6a-10)+9=0}\)
Prosta nie jest styczną ani sieczną gdy równanie nie ma rozwiązania. Stąd:
\(\displaystyle{ \Delta<0\\
4\left[ (-5-3a)^2-(1+a^2)9\right]<0 \\
30a<-16\\
a< \frac{-8}{15}}\)

Ukryta treść:    

Rozwiązanie które sugerowali Ci wujomaro i cosinus90: :
\(\displaystyle{ \frac{\left| -1-a \cdot 5+4\right| }{ \sqrt{1+a^2} }>5 \\
(3-5a)^2>(5\sqrt{1+a^2})^2\\
-30a>16 \\
a< \frac{-8}{15}}\)

Ty pewnie pomyliłeś się przy podnoszeniu nierówności do kwadratu.

[wielkireturner]

Inaczej:
Punktem wspólnym pęku prostych jest \(\displaystyle{ A=(-4,0)}\). Środek okręgu punkt styczności oraz A tworzą przystające trójkąty prostokątne o kacie \(\displaystyle{ \alpha}\) przy punkcie A.
\(\displaystyle{ a _{st}=\tan( \pi -2 \alpha ) =-\frac{2\tan \alpha }{\tan^2 \alpha -1 }= -\frac{ 2 \cdot \frac{5}{3} }{(\frac{5}{3})^2-1}=- \frac{15}{8}}\)

Odp: \(\displaystyle{ - \frac{15}{8}< \frac{1}{a} <0 \Rightarrow a \in ......}\)

Zastanawia mnie, dlaczego akurat \(\displaystyle{ \tg ( \pi - 2 \alpha )}\)?

[kerajs]

W życiu byś nie zgadł.
To pozostałość po rozwiązaniu geometrycznym z którego zrezygnowałem na rzecz pokazanego i nieco krótszego. Było tam m.in. :
\(\displaystyle{ \tan ( \pi -2 \alpha )= \frac{ \frac{90}{34} }{ \frac{48}{34} }= \frac{15}{8}}\)
Przerabiając to rozwiązanie przeoczyłem nadmiarowe ,,\(\displaystyle{ \pi -}\)'. Reszta jest poprawna.