Równość w warunku trójkąta

Matiks21 · Post autor: **Matiks21** » 20 mar 2016, o 01:25

Hej,

Mam dość podstawowy problem z którym nie mogę sobie poradzić.

Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką \(\displaystyle{ d}\)

Chcę wykazac że \(\displaystyle{ c=ta+(1-t)b}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ d(a,b)=d(a,c)+d(c,b)}\)
gdzie a,b to elementy X

prosze o pomoc

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 20 mar 2016, o 02:15

Zacznij od doprecyzowania, czym jest \(\displaystyle{ X.}\) W przestrzeni metrycznej nie musi być określonego dodawania, a nawet jeśli jakieś dodawanie jest, to nie musi być spełniona własność, o której piszesz. Kontrprzykładem jest metryka miejska.

Matiks21 · Post autor: **Matiks21** » 20 mar 2016, o 14:03

Przestrzeń unormowana wystarczy?

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 20 mar 2016, o 20:06

Przestrzeń z metryką miejską można unormować, więc nie wystarczy.

Matiks21 · Post autor: **Matiks21** » 20 mar 2016, o 20:49

unitarność?

Innego pomysłu nie mam.

Chciałbym zobaczyć dowód przynajmniej dla przypadku przestrzeni euklidesowej.
Gdyż chciałbym dowieść że przy izometrii odcinek przechodzi na odcinek. A w dowodach które spotkałem korzysta się z tego faktu niejawnie.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 20 mar 2016, o 21:35

Matiks21 pisze:unitarność?

Prześledź dowód nierówności trójkąta z wykorzystaniem nierówności Cauchy'ego-Schwarza. Przeanalizuj, kiedy może zajść równość.

Matiks21 · Post autor: **Matiks21** » 21 mar 2016, o 01:05

jaki dowód? to nie jest aksjomat?

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 21 mar 2016, o 12:31

W przestrzeni unitarnej dowodzi się, że wzór \(\displaystyle{ \|x\|=\sqrt {x\circ x}}\) określa normę.