Wyznacz równanie prostej k

[Dario1]

Podstawa \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ ABC}\) zawarta jest w prostej \(\displaystyle{ x+y+1=0}\). Ramię \(\displaystyle{ BC}\) zawiera się w prostej \(\displaystyle{ 2x-y-1=0}\). Wyznacz równanie prostej \(\displaystyle{ k}\) zawierającej ramię \(\displaystyle{ AC}\) wiedziąc, że punkt \(\displaystyle{ P=\left( -4,0\right)}\) należy do prostej \(\displaystyle{ k}\).

No i najgorzej jest z rysunkiem, bo nie wiem jak ten trójkąt będzie leżał na tych prostych itp.

[macik1423]

Można wyznaczyć sobie punkt \(\displaystyle{ B= \left( 0,-1 \right)}\). Potem punkt \(\displaystyle{ A}\) leży na prostej \(\displaystyle{ x+y+1=0}\) więc spełnia jej równanie więc \(\displaystyle{ A= \left( x,y \right) = \left( x,-x-1 \right)}\), podobnie z punktem \(\displaystyle{ C= \left( a,b \right) = \left( a,2a-1 \right)}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P= \left( -4,0 \right)}\) więc będzie mieć równanie \(\displaystyle{ y=\lambda x+4\lambda}\). Wstawiam punkt \(\displaystyle{ A}\) pod to równanie i mam \(\displaystyle{ A= \left( \frac{4\lambda+1}{-\lambda-1},-\frac{4\lambda+1}{-\lambda-1}-1 \right)}\), podobnie z punktem \(\displaystyle{ C= \left( \frac{4\lambda+1}{2-\lambda},2\cdot\frac{4\lambda+1}{2-\lambda}-1 \right)}\). Na koniec przyrównać długość odcinków \(\displaystyle{ |AC|=|BC|}\), szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+2}\).
Pewnie da się prościej.

[Dario1]

Za nic mi to nie wychodzi. Karkołomne rachunki. Z przyrównania tych długości powstają masakryczne działania. Nie można jakoś prościej? I może jakiś rysunek?

[kerajs]

Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) przeprowadź prostą równoległą do prostej \(\displaystyle{ AB}\). Jej przecięcie z prostą \(\displaystyle{ BC}\) to punkt \(\displaystyle{ P'}\). Szukany wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) leży na przecięciu prostej \(\displaystyle{ BC}\) i symetralnej odcinka \(\displaystyle{ PP'}\).