Okrąg styczny do prostych

[Olka97]

Oblicz promień mniejszego z dwóch okręgów stycznych w punkcie \(\displaystyle{ M(2,1)}\) do prostej \(\displaystyle{ x-7y+5=0}\) i jednocześnie stycznych do prostej \(\displaystyle{ x+y+13=0}\). Napisz równania wszystkich okręgów o tym promieniu stycznych jednocześnie do obydwu prostych.

[macik1423]

Najpierw wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środek małego koła i przez punkt \(\displaystyle{ M}\). Jest ona prostopadła do prostej \(\displaystyle{ x-7y+5=0}\).

[Olka97]

Prosta ta będzie miała równanie \(\displaystyle{ 7x+y-15=0}\). A co dalej?

[macik1423]

Dobrze. Środek okręgu leży na tej prostej więc będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ S_{1}=(x,y)=(x,-7x+15)}\). Teraz przyrównaj długość odcinka \(\displaystyle{ S_{1}M}\) do odległości punktu \(\displaystyle{ S_{1}}\) od prostej \(\displaystyle{ x+y+13=0}\).

[Olka97]

Po obliczeniach: \(\displaystyle{ |S _{1}M|=5 \sqrt{2} \vee |S _{1}M|=20 \sqrt{2}}\).
Wiadomo, że bierzemy pod uwagę pierwszy wynik, bo to promień mniejszego okregu.
A co do drugiej części zadania:
Napisz równania wszystkich okręgów o tym promieniu stycznych jednocześnie do obydwu prostych. Będą 4 takie okręgi?

[macik1423]

Tak, będą cztery. Równania dwóch okręgów powinnaś już mieć. Teraz wyznacz sobie punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ x-7y+5=0; x+y+13=0}\). Potem wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ S_{1}}\) i punkt przecięcia się wymienionych prostych. Potem wykorzystaj to że okręgi muszą być równo oddalone od punktu przecięcia prostych do których mają być styczne.

[Olka97]

macik1423, dziękuję za pomoc