Czy przekształcenie jest izometrią

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 5 mar 2016, o 22:11

Sprawdź czy przekształcenie płaszczyzny określone wzorem \(\displaystyle{ P\left( \left( x,y\right) \right)=\left( -x,y+1\right)}\) jest izometrią?

SidCom · Post autor: **SidCom** » 5 mar 2016, o 22:13

izometria nie zmienia długości odcinków...

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 5 mar 2016, o 22:57

I co w związku z tym?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 mar 2016, o 23:08

Czy Twoje przekształcenie to spełnia? No nie bardzo.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 5 mar 2016, o 23:12

A jak to sprawdzić?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 mar 2016, o 23:15

Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in \RR^{2}}\) masz taką długość euklidesową: \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\). Natomiast dla \(\displaystyle{ P((x,y))=(-x,y+1)}\) otrzymujesz długość euklidesową
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}}\). Łatwo wskazać takie \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^{2}}\), by te długości nie wychodziły równe. co więcej, one są równe tylko gdy \(\displaystyle{ y=-\frac 1 2}\).

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 5 mar 2016, o 23:27

Czyli tylko wystarczy sprawdzić długość euklidesową? A co jeśli byłby inny wzór na przykład \(\displaystyle{ P((x,y))=(x,y)}\), jak wówczas należałoby wykazać izometrię?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 5 mar 2016, o 23:51

Długość odcinków zachowuje. Odległości od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) oczywiście nie zachowuje, ale to nie ma nic do rzeczy.

SidCom · Post autor: **SidCom** » 6 mar 2016, o 08:31

Widać od razu, że \(\displaystyle{ P}\) jest złożeniem odbicia względem osi \(\displaystyle{ OY}\) i przesunięcia o wektor \(\displaystyle{ [0,1]}\) a więc jako złożenie dwóch izometrii jest też izometrią, ale...

Dario1 pisze: I co w związku z tym?

Miałem nadzieję, że weźmiesz sobie dowolne punkty \(\displaystyle{ A=(x_a,y_a), B=(x_b,y_b)}\) znajdziesz ich obrazy \(\displaystyle{ A'=P(A)=(-x_a,y_a+1) , B'=P(B)=(-x_b,y_b+1)}\) i stwierdzisz, że \(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\):

\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2} \\ |A'B'|=\sqrt{(-x_a+x_b)^2+(y_a+1-y_b-1)^2}=|AB|}\)

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 6 mar 2016, o 14:11

No to w końcu jest izometrią czy nie? Bo Premislav pisał, że nie jest...

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 6 mar 2016, o 14:46

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Symetria_z_po%C5%9Blizgiem

jest izometrią płaszczyzny.